Differential, Diffeomorphismus < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:02 Do 19.06.2008 | | Autor: | eumel |
| Aufgabe | Mit [mm] H:={(x,y)\in \IR^2:y>0} [/mm] bezeichnen wir die obere Halbebene von [mm] \IR^2. [/mm] Gegeben sei [mm] f:H->H;(x,y)->\bruch{1}{x^2+y^2}(-x,y).
[/mm]
Zeige, dass das Differential von f in jedem Punkt ein Isomorphismus ist.
Zeige, dass die Funktion f ein globaler Diffeomorphismus ist. |
Moin zusammen ^^
also vorgehensweise ist eigentlich klar,
a) differential is [mm] df=\bruch{\partial f}{\partial x}*dx+\bruch{\partial f}{\partial y}*dy [/mm] und um ein isomorphismus zu sein, muss das ding bijektiv sein.
b)globaler diffeomorphismus, also überall muss f und [mm] f^{-1} [/mm] stetig diffbar sein.
Mein problem: dort ist [mm] f(x,y)=\bruch{1}{x^2+y^2}(-x,y).
[/mm]
Eben das (-x,y).... kein plan was ich damit machen darf ^^
oder muss ich das teil eher als [mm] (\bruch{-x}{x^2+y^2},\bruch{y}{x^2+y^2}) [/mm] ansehen?
falls ja, wär dann [mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=(\bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2},\bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}) [/mm] ?
gruß und dank im voraus ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Do 19.06.2008 | | Autor: | eumel |
es soll im letzten satz heißen:
falls ja, wär dann [mm] \bruch{\partialf}{\partialx}=(\bruch{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2},\bruch{-2xy}{x^2+y^2)^2}) [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Sa 21.06.2008 | | Autor: | axi0m |
Dein letzter Ansatz ist meiner Ansicht nach korrekt. Du hast ja eine Funktion von [mm] \IR^2 \to \IR^2. [/mm] Wenn du dann noch [mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] bildest kannst du die Jacobi Matrix aufstellen. Wenn du für diese Invertierbarkeit (z.B. über die Determinante) beweist hast du die Bijektivität.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 21.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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