Differential berechnen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:59 Do 26.06.2014 | | Autor: | hilbert |
Hallo,
die Aufgabe ist das Differential der Abbildung [mm] T:M(n,m,\mathbb{R})\rightarrow M(m,n,\mathbb{R}), [/mm] wobei [mm] T(A)=A^T [/mm] ist, zu bestimmen.
Leider habe ich hier überhaupt keine Ahnung wie ich vorgehen soll, bis jetzt ging es nur um Differentiale von Funktionen wie [mm] f(x,y,z)=x^2+sin(y)exp(z) [/mm] oder ähnliches.
Hat jemand eine Idee für mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:12 Fr 27.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> die Aufgabe ist das Differential der Abbildung
> [mm]T:M(n,m,\mathbb{R})\rightarrow M(m,n,\mathbb{R}),[/mm] wobei
> [mm]T(A)=A^T[/mm] ist, zu bestimmen.
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> Leider habe ich hier überhaupt keine Ahnung wie ich
> vorgehen soll, bis jetzt ging es nur um Differentiale von
> Funktionen wie [mm]f(x,y,z)=x^2+sin(y)exp(z)[/mm] oder ähnliches.
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> Hat jemand eine Idee für mich?
Sind X,Y normierte Räume und ist f:X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung, so ist f in u [mm] \in [/mm] X total differenzierbar, wenn es eine stetige lineare Abbildung [mm] L_u [/mm] :X [mm] \to [/mm] Y gibt mit
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(u+h)-f(u)-L_u(h)}{||h||}=0.
[/mm]
In diesem Fall ist [mm] L_u [/mm] eindeutig bestimmt und heißt die totale Ableitung von f in u und man setzt [mm] f'(u)=L_u.
[/mm]
Ist nun f linear und stetig, so ist f(u+h)-f(u)=f(h), also ist f in u total differernzierbar und
[mm] f'(u)=L_u=f.
[/mm]
Fazit: ist f:X [mm] \to [/mm] Y linear und stetig, so ist f in jedem u [mm] \in [/mm] X total differenzierbar und die Ableitung von f ist konstant:
f'(u)=f für alle u [mm] \in [/mm] X.
Liest sich kurios, ist aber war.
In Deiner Aufgabe ist [mm] $X=M(n,m,\mathbb{R})$ [/mm] , [mm] $Y=M(m,n,\mathbb{R})$ [/mm] und $f=T$
Mit welchen Normen [mm] $X=M(n,m,\mathbb{R})$ [/mm] bzw. [mm] $Y=M(m,n,\mathbb{R})$ [/mm] versehen sind, ist völlig egal (warum ?)
FRED
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