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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:17 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Camille |
| Aufgabe | Sei [mm]\omega[/mm] die die Differentialform auf [mm]\IR^{3}[/mm], die gegeben ist durch [mm]\omega(x, y, z) = xy^{2}dx \wedge dy + xyz dx \wedge dz + xy dy \wedge dz[/mm].
Sei [mm]\varphi:\IR^{2}\to \IR^{3}[/mm] gegeben durch [mm]\varphi(x, y) = (x, y, y)[/mm]
Berechnen Sie [mm]\varphi^{\ast}(\omega)[/mm]. |
Hallo zusammen,
wir haben mit der Vektoranalysis begonnen und ich bin gleich zu Beginn der Übungen vollkommen erschlagen. Dazu muss ich sagen, dass es mir trotz mehrmaligem Durcharbeiten des Skripts schwerfällt mit Differentialformen umzugehen, mir fehlt das Verständnis für die Begriffe und die logischen Zusammenhänge.
Vllt. könnt ihr mir ersteinmal beim Verständnis der Aufgabe helfen. Ich soll doch den Rücktransport (Pull-Pack) der 2-Form [mm]\omega[/mm] unter der Substitution [mm]\varphi[/mm] berechnen, oder?
Nur wie geht man da vor? Im Skript hatten wir nur den Satz, dass eine solche Abbildung [mm]\varphi^{\ast}[/mm] existiert und eindeutig ist, aber nichts zu Berechnung.
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir den Einstieg in dieses Thema erleichtern würdet.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Camille |
Nach einer aufwendigen, unübersichtlichen (deshalb möchte ich sie hier ungern posten) Rechnung, habe ich nun raus:
[mm]\varphi^{\ast}(\omega)(x,y)=2xy^{2}dx \wedge dy[/mm]
Kann das so stimmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Mo 24.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Camille!
> Nach einer aufwendigen, unübersichtlichen (deshalb möchte
> ich sie hier ungern posten) Rechnung, habe ich nun raus:
>
> [mm]\varphi^{\ast}(\omega)(x,y)=2xy^{2}dx \wedge dy[/mm]
Das habe ich auch heraus.
Aber warum meinst du, dass die Rechnung so aufwendig ist? Wenn du schrittweise vorgehst, ist sie ganz einfach.
Aus der Definition $ [mm] \varphi(x, [/mm] y) = (x, y, y) $ folgt:
[mm] \varphi^\ast x = x [/mm], [mm] \varphi^\ast y = y [/mm], [mm] \varphi^\ast z = y [/mm]
und mit [mm] $\varphi^\ast(d\alpha) [/mm] = d [mm] (\varphi^\ast\alpha) [/mm] $:
[mm] \varphi^\ast dx = dx [/mm], [mm] \varphi^\ast dy = dy [/mm], [mm] \varphi^\ast dz = dy [/mm] .
Jetzt stückweise einsetzen:
[mm] \varphi^\ast\omega = \varphi^\ast(xy^{2}dx \wedge dy) + \varphi^\ast(xyz dx \wedge dz) + \varphi^\ast(xy dy \wedge dz) [/mm]
[mm] = \varphi^\ast(x)\varphi^\ast(y)^2\varphi^\ast(dx)\wedge\varphi^\ast(dy) + \varphi^\ast(xyz dx \wedge dz) + \varphi^\ast(xy dy \wedge dz) [/mm]
[mm] = xy^2dx\wedge dy +xyydx\wedge dy +xy dy\wedge dy =2xy^2dx\wedge dy[/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Camille |
| Aufgabe | Sei [mm]\psi:\IR\to\IR^{3}[/mm] gegeben durch [mm]\psi(x)=(\exp(\arctan(\bruch{1}{1+x^{4}})),x^{3}\sin(x),\sin(\cos^{2}(x))[/mm].
Berechnen sie [mm]\psi^{\ast}(\omega)[/mm]. |
Ich danke dir herzlichst Reiner,
ich hatte bei der Berechnung viel zu sehr um die Ecke gedacht. Durch deinen Rechenweg habe ich gesehen wie schön und leicht dies gehen kann.
Deshab habe ich mich dann direkt an der nächsten, der oberen, Aufgabe versucht. Dabei habe ich versucht mich an deinem Vorgehen zu orientieren:
Aus der Def. von [mm] \psi [/mm] folgt:
[mm] \psi^{\ast}(x) [/mm] = [mm] \exp(\arctan(\bruch{1}{1+x^{4}})
[/mm]
[mm] \psi^{\ast}(y) [/mm] = [mm] x^{3}\sin(x)
[/mm]
[mm] \psi^{\ast}(z) [/mm] = [mm] \sin(\cos^{2}(x))
[/mm]
Damit gilt auch:
[mm] \psi^{\ast}(dx) [/mm] = [mm] d \psi^{\ast}(x) = d\exp(\arctan(\bruch{1}{1+x^{4}})[/mm]
[mm] \psi^{\ast}(dy) [/mm] = [mm] d \psi^{\ast}(y) = d x^{3}\sin(x)[/mm]
[mm] \psi^{\ast}(dz) [/mm] = [mm] d \psi^{\ast}(z) = d\sin(\cos^{2}(x))[/mm]
Und jetzt müsste ich nach gleichem Schema in
[mm] \psi^\ast\omega = \psi^\ast(xy^{2}dx \wedge dy) + \psi^\ast(xyz dx \wedge dz) + \psi^\ast(xy dy \wedge dz) [/mm]
[mm] = \psi^\ast(x)\psi^\ast(y)^2\psi^\ast(dx)\wedge\psi^\ast(dy) + \psi^\ast(xyz dx \wedge dz) + \psi^\ast(xy dy \wedge dz) [/mm]
einsetzen.
Ist das ok so? Das würde ja im Vergleich zur ersten Aufgabe ziemlich unschön werden.
Edit: Außerdem stört mich ein wenig die Formulierung [mm] d \psi^{\ast}(x) = d\exp(\arctan(\bruch{1}{1+x^{4}})[/mm], ich weiß nicht genau, ob ich diese so tätigen darf und wenn, was darunter zu verstehen ist.
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Hallo Camille,
> Sei [mm]\psi:\IR\to\IR^{3}[/mm] gegeben durch
> [mm]\psi(x)=(\exp(\arctan(\bruch{1}{1+x^{4}})),x^{3}\sin(x),\sin(\cos^{2}(x))[/mm].
>
> Berechnen sie [mm]\psi^{\ast}(\omega)[/mm].
>
> Ich danke dir herzlichst Reiner,
>
> ich hatte bei der Berechnung viel zu sehr um die Ecke
> gedacht. Durch deinen Rechenweg habe ich gesehen wie schön
> und leicht dies gehen kann.
>
> Deshab habe ich mich dann direkt an der nächsten, der
> oberen, Aufgabe versucht. Dabei habe ich versucht mich an
> deinem Vorgehen zu orientieren:
>
> Aus der Def. von [mm]\psi[/mm] folgt:
>
> [mm]\psi^{\ast}(x)[/mm] = [mm]\exp(\arctan(\bruch{1}{1+x^{4}})[/mm]
> [mm]\psi^{\ast}(y)[/mm] = [mm]x^{3}\sin(x)[/mm]
> [mm]\psi^{\ast}(z)[/mm] = [mm]\sin(\cos^{2}(x))[/mm]
>
> Damit gilt auch:
>
> [mm]\psi^{\ast}(dx)[/mm] = [mm]d \psi^{\ast}(x) = d\exp(\arctan(\bruch{1}{1+x^{4}})[/mm]
>
> [mm]\psi^{\ast}(dy)[/mm] = [mm]d \psi^{\ast}(y) = d x^{3}\sin(x)[/mm]
>
> [mm]\psi^{\ast}(dz)[/mm] = [mm]d \psi^{\ast}(z) = d\sin(\cos^{2}(x))[/mm]
>
> Und jetzt müsste ich nach gleichem Schema in
>
> [mm]\psi^\ast\omega = \psi^\ast(xy^{2}dx \wedge dy) + \psi^\ast(xyz dx \wedge dz) + \psi^\ast(xy dy \wedge dz)[/mm]
>
> [mm]= \psi^\ast(x)\psi^\ast(y)^2\psi^\ast(dx)\wedge\psi^\ast(dy) + \psi^\ast(xyz dx \wedge dz) + \psi^\ast(xy dy \wedge dz)[/mm]
>
> einsetzen.
>
> Ist das ok so? Das würde ja im Vergleich zur ersten
> Aufgabe ziemlich unschön werden.
Ja, das ist ok so.
Das "Unschöne" relativiert sich, da [mm]\psi[/mm] nur von x abhängig ist.
>
> Edit: Außerdem stört mich ein wenig die Formulierung [mm]d \psi^{\ast}(x) = d\exp(\arctan(\bruch{1}{1+x^{4}})[/mm],
> ich weiß nicht genau, ob ich diese so tätigen darf und
> wenn, was darunter zu verstehen ist
Dies ist definiert als:
[mm]d \psi^{\ast}(x) = d\exp(\arctan(\bruch{1}{1+x^{4}})=\left( \ \bruch{d}{dx}\left( \ \exp(\arctan(\bruch{1}{1+x^{4}} \ \right) \right) \ dx[/mm]
Allgemein ist
[mm]df\left(x,y,z\right)=\bruch{\partial f}{\partial x} \ dx +\bruch{\partial f}{\partial y} \ dy + \bruch{\partial f}{\partial z} \ dz [/mm]
Gruss
MathePower.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:53 Di 25.01.2011 | | Autor: | Camille |
Ich dank' dir MathePower!
Ich hätte dann als Ergebnis
[mm]\psi^\ast(\omega)=[/mm]
[mm]\psi_{1}(x)(\psi_{2}(x))^{2}\bruch{\partial\psi_{1}}{\partial x} dx \wedge\bruch{\partial\psi_{2}}{\partial x} dx[/mm]
[mm]+\psi_{1}(x)\psi_{2}(x)\psi_{3}(x)\bruch{\partial\psi_{1}}{\partial x} dx \wedge\bruch{\partial\psi_{3}}{\partial x} dx[/mm]
[mm]+\psi_{1}(x)\psi_{2}(x)\bruch{\partial\psi_{2}}{\partial x} dx \wedge\bruch{\partial\psi_{3}}{\partial x} dx[/mm]
mit
[mm]\psi_{1}(x)=\exp(\arctan(\bruch{1}{1+x^{4}})[/mm]
[mm]\psi_{2}(x)=x^{3}\sin(x)[/mm]
[mm]\psi_{3}(x)=\sin(\cos^{2}(x))[/mm]
da stehen.
Das kann man dann nicht mehr in irgendeiner Form vereinfachen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:54 Di 25.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Camille!
> Ich dank' dir MathePower!
>
> Ich hätte dann als Ergebnis
>
> [mm]\psi^\ast(\omega)=[/mm]
>
> [mm]\psi_{1}(x)(\psi_{2}(x))^{2}\bruch{\partial\psi_{1}}{\partial x} dx \wedge\bruch{\partial\psi_{2}}{\partial x} dx[/mm]
>
> [mm]+\psi_{1}(x)\psi_{2}(x)\psi_{3}(x)\bruch{\partial\psi_{1}}{\partial x} dx \wedge\bruch{\partial\psi_{3}}{\partial x} dx[/mm]
>
> [mm]+\psi_{1}(x)\psi_{2}(x)\bruch{\partial\psi_{2}}{\partial x} dx \wedge\bruch{\partial\psi_{3}}{\partial x} dx[/mm]
>
> mit
>
> [mm]\psi_{1}(x)=\exp(\arctan(\bruch{1}{1+x^{4}})[/mm]
> [mm]\psi_{2}(x)=x^{3}\sin(x)[/mm]
> [mm]\psi_{3}(x)=\sin(\cos^{2}(x))[/mm]
>
> da stehen.
>
> Das kann man dann nicht mehr in irgendeiner Form
> vereinfachen?
Oh doch: [mm] $dx\wedge [/mm] dx=0$ 
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Di 25.01.2011 | | Autor: | Camille |
Hmmm... daran dachte ich auch, weiß jedoch nicht genau wie ich umformen darf.
[mm]\psi^\ast(\omega)=[/mm]
[mm]\psi_{1}(x)(\psi_{2}(x))^{2}\bruch{\partial\psi_{1}}{\partial x} dx \wedge\bruch{\partial\psi_{2}}{\partial x} dx[/mm]
[mm]+\psi_{1}(x)\psi_{2}(x)\psi_{3}(x)\bruch{\partial\psi_{1}}{\partial x} dx \wedge\bruch{\partial\psi_{3}}{\partial x} dx[/mm]
[mm]+\psi_{1}(x)\psi_{2}(x)\bruch{\partial\psi_{2}}{\partial x} dx \wedge\bruch{\partial\psi_{3}}{\partial x} dx =[/mm]
[mm]\psi_{1}(x)(\psi_{2}(x))^{2}(\bruch{\partial\psi_{1}}{\partial x} \bruch{\partial\psi_{2}}{\partial x}) dx \wedge dx[/mm]
[mm]+\psi_{1}(x)\psi_{2}(x)\psi_{3}(x)(\bruch{\partial\psi_{1}}{\partial x} \bruch{\partial\psi_{3}}{\partial x}) dx \wedge dx[/mm]
[mm]+\psi_{1}(x)\psi_{2}(x)(\bruch{\partial\psi_{2}}{\partial x} \bruch{\partial\psi_{3}}{\partial x}) dx \wedge dx = 0[/mm] ?
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Hallo Camille,
> Hmmm... daran dachte ich auch, weiß jedoch nicht genau wie
> ich umformen darf.
>
> [mm]\psi^\ast(\omega)=[/mm]
>
> [mm]\psi_{1}(x)(\psi_{2}(x))^{2}\bruch{\partial\psi_{1}}{\partial x} dx \wedge\bruch{\partial\psi_{2}}{\partial x} dx[/mm]
>
> [mm]+\psi_{1}(x)\psi_{2}(x)\psi_{3}(x)\bruch{\partial\psi_{1}}{\partial x} dx \wedge\bruch{\partial\psi_{3}}{\partial x} dx[/mm]
>
> [mm]+\psi_{1}(x)\psi_{2}(x)\bruch{\partial\psi_{2}}{\partial x} dx \wedge\bruch{\partial\psi_{3}}{\partial x} dx =[/mm]
>
> [mm]\psi_{1}(x)(\psi_{2}(x))^{2}(\bruch{\partial\psi_{1}}{\partial x} \bruch{\partial\psi_{2}}{\partial x}) dx \wedge dx[/mm]
>
> [mm]+\psi_{1}(x)\psi_{2}(x)\psi_{3}(x)(\bruch{\partial\psi_{1}}{\partial x} \bruch{\partial\psi_{3}}{\partial x}) dx \wedge dx[/mm]
>
> [mm]+\psi_{1}(x)\psi_{2}(x)(\bruch{\partial\psi_{2}}{\partial x} \bruch{\partial\psi_{3}}{\partial x}) dx \wedge dx = 0[/mm]
> ?
Ja, das darfst Du so machen.![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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