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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Mo 26.01.2015 | | Autor: | Rocky14 |
| Aufgabe | | Gegeben sei die Abbildung [mm] \phi :\IR^2 \to \IR^3, \phi(x,y)=(x,y,xy). [/mm] Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{x^2+y^2<1}{\phi} [/mm] * w für w = x dx [mm] \wedge [/mm] dz - y dy [mm] \wedge [/mm] dz |
Hallo Leute,
um obige Aufgabe zu lösen, muss ich ja zunächst einmal [mm] \phi [/mm] * w berechnen - doch daran scheitert es leider schon bei mir.
Ich habe bisher:
[mm] \phi [/mm] * w = [mm] w(\phi) [/mm]
= [mm] \phi_{1} d\phi_{1} \wedge d\phi_{3} [/mm] - [mm] \phi_{2} d\phi_{2} \wedge d\phi_{3}
[/mm]
= x(1dx) [mm] \wedge [/mm] (ydz) - y(1dy) [mm] \wedge [/mm] (xdz)
= xy [mm] dx\wedge [/mm] dz - xy dy [mm] \wedge [/mm] dz
Stimmt das so? Ich bin mir sehr unsicher und habe das anhand eines Beispiels aus dem Internet gemacht. Allerdings hatten dort die [mm] \phi's [/mm] nur [mm] x_{1},x_{2} [/mm] und die w's nur [mm] y_{1},y_{2}. [/mm] Bei meinem Beispiel kommt ja in beiden Formen sowohl x als auch y vor..... Ich erkenne noch keine richtige Regel.
Wie berechne ich davon dann das Integral? Es gilt ja: Ist [mm] \phi: [/mm] U [mm] \to [/mm] V ein orientierungstreuer Diffeomorphismus und w eine integrierbare Top-Form auf V. Dann ist auch [mm] \phi [/mm] * w intbar und es gilt [mm] \integral_{U} \phi [/mm] * w = [mm] \integral_{V} [/mm] w. Bringt mich das irgendwie weiter?
Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Hilfe !
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Hallo Rocky14,
> Gegeben sei die Abbildung [mm]\phi :\IR^2 \to \IR^3, \phi(x,y)=(x,y,xy).[/mm]
> Berechnen Sie das Integral [mm]\integral_{x^2+y^2<1}{\phi}[/mm] * w
> für w = x dx [mm]\wedge[/mm] dz - y dy [mm]\wedge[/mm] dz
> Hallo Leute,
> um obige Aufgabe zu lösen, muss ich ja zunächst einmal
> [mm]\phi[/mm] * w berechnen - doch daran scheitert es leider schon
> bei mir.
> Ich habe bisher:
>
> [mm]\phi[/mm] * w = [mm]w(\phi)[/mm]
> = [mm]\phi_{1} d\phi_{1} \wedge d\phi_{3}[/mm] - [mm]\phi_{2} d\phi_{2} \wedge d\phi_{3}[/mm]
>
> = x(1dx) [mm]\wedge[/mm] (ydz) - y(1dy) [mm]\wedge[/mm] (xdz)
> = xy [mm]dx\wedge[/mm] dz - xy dy [mm]\wedge[/mm] dz
>
Da z=x*y ist [mm]dz=y \ dx \ + x \ dy[/mm]
Dann hast Du hier stehen:
[mm]\phi \* w =x \ dx \wedge \left(y \ dx \ + x \ dy \right) - y \ dy \wedge \left(y \ dx \ + x \ dy \right)[/mm]
Dies ist zunächst zu berechnen.
> Stimmt das so? Ich bin mir sehr unsicher und habe das
> anhand eines Beispiels aus dem Internet gemacht. Allerdings
> hatten dort die [mm]\phi's[/mm] nur [mm]x_{1},x_{2}[/mm] und die w's nur
> [mm]y_{1},y_{2}.[/mm] Bei meinem Beispiel kommt ja in beiden Formen
> sowohl x als auch y vor..... Ich erkenne noch keine
> richtige Regel.
>
> Wie berechne ich davon dann das Integral? Es gilt ja: Ist
> [mm]\phi:[/mm] U [mm]\to[/mm] V ein orientierungstreuer Diffeomorphismus und
> w eine integrierbare Top-Form auf V. Dann ist auch [mm]\phi[/mm] * w
> intbar und es gilt [mm]\integral_{U} \phi[/mm] * w = [mm]\integral_{V}[/mm]
> w. Bringt mich das irgendwie weiter?
>
> Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Hilfe !
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mo 26.01.2015 | | Autor: | Rocky14 |
> [mm]\phi \* w =x \ dx \wedge \left(y \ dx \ + x \ dy \right) - y \ dy \wedge \left(y \ dx \ + x \ dy \right)[/mm]
>
> Dies ist zunächst zu berechnen.
Okay... Dann habe ich also
xy dx [mm] \wedge [/mm] dx + [mm] x^2 [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy - [mm] y^2 [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dx - yx dy [mm] \wedge [/mm] dy
= [mm] x^2 [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy - [mm] y^2 [/mm] dy [mm] \wedge [/mm] dx
= [mm] x^2 [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy + [mm] y^2 [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy
= [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] dx [mm] \wedge [/mm] dy
Und nun?
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Hallo Rocky14,
> > [mm]\phi \* w =x \ dx \wedge \left(y \ dx \ + x \ dy \right) - y \ dy \wedge \left(y \ dx \ + x \ dy \right)[/mm]
>
> >
> > Dies ist zunächst zu berechnen.
>
> Okay... Dann habe ich also
> xy dx [mm]\wedge[/mm] dx + [mm]x^2[/mm] dx [mm]\wedge[/mm] dy - [mm]y^2[/mm] dy [mm]\wedge[/mm] dx - yx
> dy [mm]\wedge[/mm] dy
> = [mm]x^2[/mm] dx [mm]\wedge[/mm] dy - [mm]y^2[/mm] dy [mm]\wedge[/mm] dx
> = [mm]x^2[/mm] dx [mm]\wedge[/mm] dy + [mm]y^2[/mm] dx [mm]\wedge[/mm] dy
> = [mm](x^2[/mm] + [mm]y^2)[/mm] dx [mm]\wedge[/mm] dy
>
> Und nun?
Dies entspricht folgendem Integral:
[mm]\integral_{x^{2}+y^{2}<1}^{}}x^{2}+y^{2}} \ dx \ dy [/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Di 27.01.2015 | | Autor: | Rocky14 |
Ach so :D Jetzt hat es klick gemacht!
Danke für deine Hilfe!
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