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| Aufgabe | | Bestimme zu gegebenem a > 0 alle Kurven y = y(x), für deren Bogenlänge s(x) gilt: s² = y² - a². |
also ich habe es mir so überlegt wenn ich in die gleichung einsetze erhalte ich:
[mm] (\integral_{}^{}{\wurzel{1+y'}})^2=y² [/mm] - a²
da habe ich dann wie wurzel gezogen einmal abgeleitet etwas gekürzt und erhalte dann: y'² + 1 = (y²*y'²)/(y²-a)
hier stehe ich dann ich nicht weiß wie ich das lösen soll! kann jemand man überprüfen ob ich soweit alles richtig gemacht habe?
danke.
lg
EDIT: Habe noch etwas probiert zu vereinfachen und erhalte dann: y'²=y²/a² - 1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Fr 21.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Bestimme zu gegebenem a > 0 alle Kurven y = y(x), für deren
> Bogenlänge s(x) gilt: s² = y² - a².
> also ich habe es mir so überlegt wenn ich in die gleichung
> einsetze erhalte ich:
>
> [mm](\integral_{}^{}{\wurzel{1+y'}})^2=y²[/mm] - a²
>
> da habe ich dann wie wurzel gezogen einmal abgeleitet etwas
> gekürzt und erhalte dann: y'² + 1 = (y²*y'²)/(y²-a)
>
> hier stehe ich dann ich nicht weiß wie ich das lösen soll!
> kann jemand man überprüfen ob ich soweit alles richtig
> gemacht habe?
>
> danke.
>
> lg
>
> EDIT: Habe noch etwas probiert zu vereinfachen und erhalte
> dann: y'²=y²/a² - 1
Hallo,
findet das Ganze in einem vorgegebenen Intervall statt?
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Fr 21.03.2008 | | Autor: | BKM |
Hallo.
Ich stelle immer wieder fest, dass mach großer Rechner nicht den Unterschied zwischen Frage und Antwort kennt! Und dann solche Aufgaben lösen? Na ja.
Beste Grüße
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die angaben ist genau so gestellt. also kein intervall!
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Ich habe mal was gerechnet:
[mm]\left(\integral{\wurzel{1+(y')^{2}} dx}\right)^{2} = y^{2} - a^{2}[/mm]
Auf beiden Seiten die Wurzel:
[mm]\gdw \integral{\wurzel{1+(y')^{2}} dx} = \wurzel{y^{2} - a^{2}}[/mm]
Nun Ableiten:
[mm]\gdw \wurzel{1+(y')^{2}} = \bruch{1}{2*\wurzel{y^{2} - a^{2}}}*2y[/mm]
[mm]\gdw \wurzel{1+(y')^{2}} = \bruch{y}{\wurzel{y^{2} - a^{2}}}[/mm]
Und nun dachte ich an Quadrieren:
[mm]\gdw 1+(y')^{2} = \bruch{y^{2}}{y^{2} - a^{2}}[/mm]
So und nun ganz normal DGL mit Trennung der Variablen:
[mm]\gdw (y')^{2} = \bruch{y^{2}}{y^{2} - a^{2}}-1[/mm]
[mm]\gdw (y')^{2} = \bruch{y^{2}}{y^{2} - a^{2}}-\bruch{y^{2}-a^{2}}{y^{2}-a^{2}}[/mm]
[mm]\gdw (y')^{2} = \bruch{a^{2}}{y^{2} - a^{2}}[/mm]
[mm]\gdw y' = \bruch{a}{\wurzel{y^{2} - a^{2}}}[/mm]
[mm]\gdw \bruch{dy}{dx} = \bruch{a}{\wurzel{y^{2} - a^{2}}}[/mm]
[mm]\gdw \integral{\bruch{\wurzel{y^{2} - a^{2}}}{a}dy} = \integral{1 dx}[/mm]
[mm]\gdw \integral{\bruch{\wurzel{y^{2} - a^{2}}}{a}dy} =x[/mm]
Ach ja, was ich noch bemerken wollte:
Mir scheint, dass das Ableiten alle sinnvollen Lösungen zerstört, denn wenn ich Maple die Differentialgleichung vom Anfang her lösen lassen findet es Lösungen, aber nach dem Ableiten nicht mehr. Vielleicht gibt es noch einen anderen Lösungsansatz?
Nur um mal die Lösungen genannt zu haben:
[mm]y_{1}(x) = \bruch{1}{2}*\bruch{\left(\bruch{a^{2}+\bruch{\left(\exp\left(\bruch{x}{a}\right)\right)^{2}}{\left(\exp\left(\bruch{c}{a}\right)\right)^{2}}\right)*\exp\left(\bruch{c}{a}\right)}{\exp\left(\bruch{x}{a}\right)}[/mm]
[mm]y_{2}(x) = \bruch{1}{2}*\bruch{\left(\bruch{a^{2}+\bruch{\left(\exp\left(\bruch{a}{a}\right)\right)^{2}}{\left(\exp\left(\bruch{x}{a}\right)\right)^{2}}\right)*\exp\left(\bruch{c}{a}\right)}{\exp\left(\bruch{x}{a}\right)}[/mm]
[mm]y_{3}(x) = \bruch{1}{2}*\bruch{\left(\bruch{a^{2}+\bruch{\left(\exp\left(\bruch{x}{a}\right)\right)^{2}}{\left(\exp\left(\bruch{c}{a}\right)\right)^{2}}\right)*\exp\left(\bruch{x}{a}\right)}{\exp\left(\bruch{c}{a}\right)}[/mm]
[mm]y_{4}(x) = \bruch{1}{2}*\bruch{\left(\bruch{a^{2}+\bruch{\left(\exp\left(\bruch{c}{a}\right)\right)^{2}}{\left(\exp\left(\bruch{x}{a}\right)\right)^{2}}\right)*\exp\left(\bruch{x}{a}\right)}{\exp\left(\bruch{c}{a}\right)}[/mm]
Ich weiß dass das jetzt nicht sonderlich viel hilft, aber vielleicht kommst du so eher auf einen anderen Lösungsansatz. Ich habe die Lösungen auch überprüft; wenn man sie für y(x) in die obige Gleichung einsetzt, stimmt's.
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Hallo mathematik_graz,
> Bestimme zu gegebenem a > 0 alle Kurven y = y(x), für deren
> Bogenlänge s(x) gilt: s² = y² - a².
> also ich habe es mir so überlegt wenn ich in die gleichung
> einsetze erhalte ich:
>
> [mm](\integral_{}^{}{\wurzel{1+y'}})^2=y²[/mm] - a²
>
> da habe ich dann wie wurzel gezogen einmal abgeleitet etwas
> gekürzt und erhalte dann: y'² + 1 = (y²*y'²)/(y²-a)
>
> hier stehe ich dann ich nicht weiß wie ich das lösen soll!
> kann jemand man überprüfen ob ich soweit alles richtig
> gemacht habe?
>
> danke.
>
> lg
>
> EDIT: Habe noch etwas probiert zu vereinfachen und erhalte
> dann: y'²=y²/a² - 1
Jetzt muss ich mal den "großen Rechnern" zeigen, wie das gemacht wird.
Folgendes Vorgehen zur Gewinnung der DGL habe ich mir überlegt:
Sei [mm]F\left(x\right)=\integral_{}^{}{\wurzel{1+\left(y'\right)^{2}} \ dx}[/mm]
Dann gilt:
[mm]\left(F\left(x\right)\right)^{2})=y^{2}-a^{2} \ \left(1\right)[/mm]
Differentiation von [mm]\left(1\right)[/mm] ergibt:
[mm]2*F\left(x\right)*F'\left(x\right)=2*y\left(x\right)*y'\left(x\right)[/mm]
[mm]\gdw F\left(x\right)*F'\left(x\right)=y\left(x\right)*y'\left(x\right) \ \left(2\right)[/mm]
Offensichtlich stört hier [mm]F\left(x\right)[/mm], da es ein Integral ist.
[mm]\gdw F\left(x\right)=\bruch{y\left(x\right)*y'\left(x\right)}{F'\left(x\right)}=\bruch{y\left(x\right)*y'\left(x\right)}{\wurzel{1 + \left(y'\left(x\right)\right)^{2}} } \ \left(2a\right)[/mm]
Differentiation von [mm]\left(2\right)[/mm] ergibt:
[mm]\left(F'\left(x\right)\right)^2+F\left(x\right)*F''\left(x\right)=\left(y'\left(x\right)\right)^2+y\left(x\right)*y''\left(x\right) \ \left(3\right)[/mm]
Hier setzt ich nun die Gleichung [mm]\left(2a\right)[/mm] und es folgt dann nach ein bischen Umformung eine nichtlineare DGL der Bauart [mm]H\left(y,\ y', \ y''\right)=0[/mm] bzw. [mm]y''=\varphi\left(y,y'\right)[/mm].
Diese DGL wird durch die Substitution
[mm]y'=p \Rightarrow y'' = p*\bruch{dp}{dy}[/mm]
gelöst.
Das weitere Vorgehen entscheidet dann die durch die obige Substitution gewonnene DGL.
Gruß
MathePower
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was mich hier etwas stört ist, dass ich das a komplett verliere! ich denke es sollte eine lösung entstehen die abhängig von a ist! und wenn du zu beginn differenzierst dann geht der term verloren.
wäre es nicht sinnvoller zuerst die wurzel zu ziehen und dann zu differenzieren so wie ich es gemacht habe?!
sollte ja keinen unterschied machen, da das quadrat außerhalb des integrals steht und ich dann das ganze ableite.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 So 23.03.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo,
ich möchte erneut die Frage nach Sinn und Inhalt der Aufgabe stellen. (Ich hatte anfangs mal nachgefragt, ob das Ganze in einem vorgegebenen Intervall stattfinden soll).
Mein Zweifel hatte einen trivialen Grund: Funktionen, die stetig und von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty [/mm] definiert sind, besitzen Graphen mit unendlicher Kurvenlänge. Das kann es doch wohl nicht sein, oder?
Die Aufgabenstellung (Kurvenlänge?!) macht für mich nur in zwei Fällen Sinn:
1) Es handelt sich um geschlossene Kurven.
2) Es handelt sich um einen beidseitig begrenzten Definitionsbereich.
Vielleicht sollte diese Frage mal geklärt werden, bevor wir uns gegenseitig Differenzialgleichungen um die Ohren hauen.
Viele Grüße
Abakus
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es tut mir leid aber das was ich schon zu beginn gepostet habe ist die komplette aufgabenstellung!
Bestimme zu gegebenem a > 0 alle Kurven y = y(x), für deren Bogenlänge s(x) gilt: s² = y² - a².
mehr information habe ich nicht. nur ich denke es geht sicher in die richtung dass man irgendwie das integral wegbekommen soll und dann eine dgl lösen muss.
EDIT: Danke für die vielen Antworten ich denke dass ich die aufgabe jetzt gelöst habe! mein ansatz ging in die richtige richtung. ich habe dann noch am schluss 2-3 sachen ädern müssen und die erste überprüfung mit einfachen zahlen bestätigt dass mein ansatz richtig sien sollte!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 So 23.03.2008 | | Autor: | abakus |
> es tut mir leid aber das was ich schon zu beginn gepostet
> habe ist die komplette aufgabenstellung!
>
> Bestimme zu gegebenem a > 0 alle Kurven y = y(x), für deren
> Bogenlänge s(x) gilt: s² = y² - a².
>
> mehr information habe ich nicht. nur ich denke es geht
> sicher in die richtung dass man irgendwie das integral
> wegbekommen soll und dann eine dgl lösen muss.
>
> EDIT: Danke für die vielen Antworten ich denke dass ich die
> aufgabe jetzt gelöst habe! mein ansatz ging in die richtige
> richtung. ich habe dann noch am schluss 2-3 sachen ädern
> müssen und die erste überprüfung mit einfachen zahlen
> bestätigt dass mein ansatz richtig sien sollte!
Na , ist doch Super!
Könntest du bitte so nett sein und uns deine gefundenen Funktionen y zu nennen?
Vielleicht erschließt sich uns ja damit nachträglich der Sinn der Aufgabe.
Viele Grüße
Abakus
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also ich habe es bis jetzt mit den zahlen B=1 und a=1 getestet und dafür ist das ergebnis richtig.
die funktion lautet: y(x)=(a²/(4*B))*e^(a/x) + B*e^(-x/a)
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Hallo,
wenn man von deinen bisherigen Rechnungen weitergeht, erhält man eine einfache Lösung:
[mm] $1+(y')^2 [/mm] = [mm] \bruch{y^2*(y')^2}{y^2-a^2}$
[/mm]
[mm] $(y')^2 [/mm] = [mm] \bruch{y^2}{a^2}-1= \bruch{1}{a^2}*\left(y^2-a^2 \right)$
[/mm]
$y' = [mm] \bruch{1}{a}*\wurzel{y^2-a^2} [/mm] $
[mm] $\integral \bruch{1}{\wurzel{y^2-a^2}} \;dy [/mm] = [mm] \bruch{1}{a}*\integral \;dx$
[/mm]
[mm] $arcosh\left(\bruch{y}{a}\right) [/mm] = [mm] \bruch{x+C}{a}$
[/mm]
$y = [mm] a*cosh\left(\bruch{x+C}{a}\right)$
[/mm]
Die Lösung wäre also eine Kettenlinie mit dem Scheitelpunkt S(-C;a).
Das kann man durch Ableiten und Einsetzen in die DGL überprüfen:
$y' = [mm] sinh\left(\bruch{x+C}{a}\right)$
[/mm]
[mm] $\left(\integral \wurzel{1+(y')^2} \;dx \right)^2 [/mm] = [mm] y^2-a^2$
[/mm]
[mm] $\left(\integral \wurzel{1+\left(sinh\left(\bruch{x+C}{a}\right) \right)^2} \;dx \right)^2 [/mm] = [mm] \left(a*cosh\left(\bruch{x+C}{a}\right) \right)^2-a^2$
[/mm]
[mm] $\integral \wurzel{1+\left(sinh\left(\bruch{x+C}{a}\right) \right)^2} \;dx [/mm] = [mm] \wurzel{\left(a*cosh\left(\bruch{x+C}{a}\right) \right)^2-a^2}$
[/mm]
[mm] $\integral \wurzel{1+sinh^2\left(\bruch{x+C}{a}\right)} \;dx [/mm] = [mm] \wurzel{a^2*cosh^2\left(\bruch{x+C}{a}\right)-a^2}$
[/mm]
[mm] $\integral \wurzel{cosh^2\left(\bruch{x+C}{a}\right)} \;dx [/mm] = [mm] a*\wurzel{cosh^2\left(\bruch{x+C}{a}\right)-1}$
[/mm]
[mm] $\integral \wurzel{cosh^2\left(\bruch{x+C}{a}\right)} \;dx [/mm] = [mm] a*\wurzel{sinh^2\left(\bruch{x+C}{a}\right)}$
[/mm]
[mm] $\integral cosh\left(\bruch{x+C}{a}\right) \;dx [/mm] = [mm] a*sinh\left(\bruch{x+C}{a}\right)$
[/mm]
[mm] $a*sinh\left(\bruch{x+C}{a}\right) [/mm] = [mm] a*sinh\left(\bruch{x+C}{a}\right)$
[/mm]
LG, Martinius
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wow danke das ist dann doch etwas anders als ich es gelöst habe!
nur eines verstehe ich nicht ganz: wie verschwindet bei dir in der 4ten zeile das y'??
lg
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Hallo mathematik_graz,
> wow danke das ist dann doch etwas anders als ich es gelöst
> habe!
> nur eines verstehe ich nicht ganz: wie verschwindet bei
> dir in der 4ten zeile das y'??
[mm]y'[/mm] wurde durch [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] ersetzt.
Dann wird aus
[mm] y' = \bruch{1}{a}\cdot{}\wurzel{y^2-a^2} [/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx} = \bruch{1}{a}\cdot{}\wurzel{y^2-a^2} [/mm]
[mm]\gdw \bruch{1}{\wurzel{y^{2}-a^{2}}} \ dy = \bruch{1}{a} \ dx[/mm]
>
> lg
Gruß
MathePower
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super danke für die schnelle antwort stand gerade auf der leitung!
lg
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