Differentialgl. 1.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:17 Mo 04.06.2012 | | Autor: | ggT |
| Aufgabe | Für $(x,y) [mm] \in [/mm] U = [mm] \IR \times [/mm] (0,1)$ betrachten Sie die Differentialgleichung
$y' = (1-y) * y.$
Bestimmen Sie die Anfangswertaufgabe $y(0) = [mm] \bruch{1}{2}$. [/mm] |
Ja, ich grübel jetzt schon eine ganze Weile über der nicht-linearen Differentialgleichung 1.Ordnung, aber weiß nicht so recht wie ich weiterkomme. In letzter Zeit haben wir viel mit Trennung der Variablen gemacht, daher hab ich das hier auch einmal probiert, jedoch weiß ich nicht, ob ich da nicht evtl. total auf dem Holzweg bin, da ja sichtbar eigentlich nur ein y auftaucht.
Dann würde mir nur noch Substitution einfallen, aber die checke ich noch nicht so wirklich.
So sieht mein bisheriger Lösungsversuch aus:
$y' = (1-y)*y = [mm] y-y^{2}$
[/mm]
[mm] $\bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] y-y^{2}$
[/mm]
Trennung der Variablen:
$dy = [mm] (y-y^{2})dx$
[/mm]
[mm] $\bruch{dy}{y-y^{2}} [/mm] = 1dx$
[mm] $(y-y^{2})^{-1}dy [/mm] = 1dx$
Integration beider Seiten:
[mm] $\integral_{}^{}{(y-y^{2})^{-1}dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{1dx}$
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:53 Mo 04.06.2012 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] \bruch{1}{y-y^2}=\bruch{a}{y}+\bruch{b}{1-y}
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Mo 04.06.2012 | | Autor: | ggT |
Ok, das sieht nun wohl doch nach Substitution aus.
Also nehme ich an, dass mein Ansatz nicht fortführbar ist, oder?
Werde mir Substitutionen gleich noch einmal näher anschauen, aber auf den ersten Blick, weiß ich irgendwie noch nicht genau wie man dahin kommt, gibt es da noch ein paar Zwischenschritte davor, die mir das Nachvollziehen erleichtern könnten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:37 Mo 04.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok, das sieht nun wohl doch nach Substitution aus.
> Also nehme ich an, dass mein Ansatz nicht fortführbar
> ist, oder?
Dein Ansatz ist O.K.
Bestimme a und b so, dass gilt: $ [mm] \bruch{1}{y-y^2}=\bruch{a}{y}+\bruch{b}{1-y} [/mm] $
Dann berechne y aus der Gleichung
$ [mm] \integral_{}^{}{(\bruch{a}{y}+\bruch{b}{1-y}) dy} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{1dx}+c [/mm] $
Dann bestimmst Du c so, dass $ y(0) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ gilt.
Fertig.
FRED
>
> Werde mir Substitutionen gleich noch einmal näher
> anschauen, aber auf den ersten Blick, weiß ich irgendwie
> noch nicht genau wie man dahin kommt, gibt es da noch ein
> paar Zwischenschritte davor, die mir das Nachvollziehen
> erleichtern könnten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 Di 05.06.2012 | | Autor: | ggT |
Hm, genau das mit dem a und b so bestimmen, dass die Gleichung erfüllt ist, bereit mir irgendwie Schwierigkeiten.
Die Intention von der ganzen Sache verstehe ich schon. Das Integrieren der linken Seite fällt dann sehr leicht, da man $a*ln(y)$ etc. erhält und man danach gut auflösen kann.
Nur der Zwischenschritt fehlt mir sozusagen, also das a und b zu wählen.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hm, genau das mit dem a und b so bestimmen, dass die
> Gleichung erfüllt ist, bereit mir irgendwie
> Schwierigkeiten.
>
> Die Intention von der ganzen Sache verstehe ich schon. Das
> Integrieren der linken Seite fällt dann sehr leicht, da
> man [mm]a*ln(y)[/mm] etc. erhält und man danach gut auflösen
> kann.
> Nur der Zwischenschritt fehlt mir sozusagen, also das a
> und b zu wählen.
Das Stichwort heißt Partialbruchzerlegung. Bringe die Summe
[mm] \bruch{a}{y}+\bruch{b}{1-y}
[/mm]
wieder auf einen gemeinsamen Nenner und bestimme a und b durch Koeffizientenvergleich so, dass der Zähler gleich 1 ist.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Di 05.06.2012 | | Autor: | ggT |
Oh, das das noch so umständlich wird, dacht ich gar nicht.
Also hab ich dann:
[mm] $\bruch{1}{y-y^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{a}{y} [/mm] + [mm] \bruch{b}{y-1}$
[/mm]
Mache dann eine Partialbruchzerlegung...
$1 = a*(y-1)+b*y$
$1 = a*y-a+b*y$
$1+a = y*(a+b)$
Wie gehts dann weiter, hab nochmal nachgeschlagen bei Partialbruchzerlegung, muss ich ja nun kritische Stellen/nicht definierte Stellen finden. Hätte da gesagt y=1 ist nicht definiert, weil Nenner dann 0 werden würde:
$1+a = a+b$
$b = 1$
Aber wie bekomm ich nun $a$ raus oder hab ich das da falsch gemacht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Di 05.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Oh, das das noch so umständlich wird, dacht ich gar
> nicht.
>
> Also hab ich dann:
> [mm]\bruch{1}{y-y^{2}} = \bruch{a}{y} + \bruch{b}{y-1}[/mm]
>
> Mache dann eine Partialbruchzerlegung...
> [mm]1 = a*(y-1)+b*y[/mm]
nein. Sondern [mm]1 = a*(1-y)+b*y[/mm]
>
> [mm]1 = a*y-a+b*y[/mm]
>
> [mm]1+a = y*(a+b)[/mm]
nein, sondern: [mm]1+a = y*(a-b)[/mm]
Koeffizientenvergleich liefert: a=1 und a=b, als0 a=b=1.
FRED
>
> Wie gehts dann weiter, hab nochmal nachgeschlagen bei
> Partialbruchzerlegung, muss ich ja nun kritische
> Stellen/nicht definierte Stellen finden. Hätte da gesagt
> y=1 ist nicht definiert, weil Nenner dann 0 werden würde:
>
> [mm]1+a = a+b[/mm]
>
> [mm]b = 1[/mm]
>
> Aber wie bekomm ich nun [mm]a[/mm] raus oder hab ich das da falsch
> gemacht?
|
|
|
|
