Differentialgl. 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Do 13.07.2006 | | Autor: | Jan2006 |
Hallo zusammen!
Ich habe ein Problem.
Und zwar habe ich gerade gelesen, dass ich lineare, inhomogene Differentialgleichungen 1. Ordnung auf 2 Arten berechnen kann:
1. Variation der Konstanten (das kapier ich)
oder
2. Durch das Aufsuchen einer partikulären Lösung (das kapier ich nicht)
Es geht dabei um folgende Aufgabe:
[mm] y'-3*y=x*e^{4x}
[/mm]
Mit der Berechnung durch Variation der Konstanten, komme ich auf folgende Lösung (die im Buch auch richtig ist):
[mm] y=(x*e^{x}-e^{x}+C)*e^{3x}
[/mm]
Das Ganze würde ich jetzt gerne auf die 2. Art, nämlich durch Aufsucher einer partikulären Lösung machen. Für die Störfunktion [mm] x*e^{4x} [/mm] habe ich folgenden Lösungsansatz im Buch gefunden:
[mm] y_{p}=\begin{cases} C*e^{bx} & \mbox{für } b \not= -a \\ C*x*e^{bx} & \mbox{für } b=-a \end{cases}
[/mm]
Aber wie geht's da jetzt weiter? Kann mir jemand eine Lösung schreiben? Theoretisch müßte doch genau dasselbe wie mit der Variation der Konstanten herauskommen, oder? Schließlich ist das Aufsuchen einer partikulären Lösung nur eine 2.te Möglichkeit y zu bestimmen.
Es handelt sich hierbei um eine Klausurvorbereitung. Wäre also schon, wenn ihr mir schnell helfen würdet! Vielen Dank im Voraus!
Jan
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Hallo Jan ,
Nochmal
lineare DGL - > [mm] y=y_h+y_p
[/mm]
Die partikuläre Lösung ( [mm] y_p [/mm] ) ist dabei nicht eindeutig und man braucht nur eine. Du kannst sie durch Variation der Konstanten bestimmen oder raten oder...
Im vorliegenden Fall handelt es sich um eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten. In diesem Fall kann man spezielle Ansätze für [mm] y_p [/mm] verwenden.
Ist die "Rechte Seite": [mm] P_n(x)*e^{tx} (P_n [/mm] - Polynom vom Grad n) so kann man für [mm] y_p [/mm] ebenfalls [mm] P_n(x)*e^{tx} [/mm] ansetzen.
Im vorliegenden Fall würde man also [mm] (Ax+B)*e^{4x} [/mm] in die DGL einsetzen und A und B bestimmen und erhält so [mm] y_p [/mm] .
viele Grüße
mathemaduenn
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