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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Differentialgleichugen mit AWP
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Differentialgleichugen mit AWP: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:06 Mo 09.11.2009
Autor: babapapa

Aufgabe
Löse folgende Differentialgleichung:
[mm] x(y^2 [/mm] - 1) - [mm] y(x^2 [/mm] - 1) y' = 0, y(0) = 2

Hallo!

ich löse die Aufgabe also einfach mittels der Methode der Trennung von Variablen.
Also:

[mm] x(y^2-1)-y(x^2-1)y' [/mm] = 0
[mm] y(x^2 [/mm] - 1)y' = [mm] x(y^2 [/mm] - 1)
y' = [mm] \bruch{x(y^2 - 1}{y(x^2 - 1)} [/mm]
[mm] \bruch{y * dy}{(y^2 - 1)} [/mm] = [mm] \bruch{x * dx}{(x^2 - 1)} [/mm]

Dann unbestimmte intergration
[mm] \integral_{-}^{-}{\bruch{y * dy}{(y^2 - 1)}} [/mm] = [mm] \integral_{-}^{-}{\bruch{x * dx}{(x^2 - 1)}} [/mm]

Spezialfall der logarithmischen Substitution...

[mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln | [mm] y^2 [/mm] - 1| = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln | [mm] x^2 [/mm] - 1| + C
ln | [mm] y^2 [/mm] - 1| = ln | [mm] x^2 [/mm] - 1| + 2*C
e^(ln | [mm] y^2 [/mm] - 1|) = e^(ln | [mm] x^2 [/mm] - 1| + 2*C)
[mm] |y^2 [/mm] - 1| = [mm] |x^2 [/mm] - 1| * e^(2 * C)

und genau hier bleibe ich hängen. den betrag würde ich durch quadrieren herausbekommen aber ich weiß nicht ob das der richtige weg ist.

vielen dank für jede hilfe.

lg


        
Bezug
Differentialgleichugen mit AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:44 Mo 09.11.2009
Autor: fred97

Wegen y(0) = 2, kannst Du |x|<1 und y > 1 annehmen

Hilft das ?

FRED

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Bezug
Differentialgleichugen mit AWP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:53 Mo 09.11.2009
Autor: babapapa

hallo

danke für die rasche antwort!

hmmmm leider nicht - kann mit dem hinweis leider nichts anfangen :(

Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichugen mit AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:10 Mo 09.11.2009
Autor: fred97

Ist y>1, so ist [mm] y^2>1 [/mm] und somit [mm] |y^2-1|= y^2-1 [/mm]

Ist |x|<1, so ist [mm] x^2<1, [/mm] und somit [mm] |x^2-1|= 1-x^2 [/mm]

FRED

Bezug
                                
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Differentialgleichugen mit AWP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:24 Mo 09.11.2009
Autor: babapapa

Oh okay, so war das gemeint - dankeschön

nun würde ja folgend weitergemacht:

[mm] y^2 [/mm] - 1 = [mm] (1-x^2) [/mm] * [mm] e^{2C} [/mm]
[mm] y^2 [/mm] = [mm] (1-x^2) [/mm] * [mm] e^{2C} [/mm] + 1
y = [mm] \pm \wurzel{(1-x^2) * e^{2C} + 1} [/mm]

Wenn ich nun die Anfangsbedinung y(0) = 2 anwende - also x = 0 setze
und K := [mm] e^{2C}, [/mm] mit K [mm] \in \IR [/mm]
y = [mm] \pm \wurzel{(1-0^2) * K + 1} [/mm]
y = [mm] \pm \wurzel{(1) * K + 1} [/mm]

wobei hier aber niemals 2 herauskommt? was mache ich hier falsch ?

Bezug
                                        
Bezug
Differentialgleichugen mit AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:31 Mo 09.11.2009
Autor: fred97


> Oh okay, so war das gemeint - dankeschön
>  
> nun würde ja folgend weitergemacht:
>  
> [mm]y^2[/mm] - 1 = [mm](1-x^2)[/mm] * [mm]e^{2C}[/mm]
>  [mm]y^2[/mm] = [mm](1-x^2)[/mm] * [mm]e^{2C}[/mm] + 1
>  y = [mm]\pm \wurzel{(1-x^2) * e^{2C} + 1}[/mm]

Wegen y(0) = 2 > 0 ist Deine Lösung positiv, also

          
y = [mm] \wurzel{(1-x^2) * e^{2C} + 1}[/mm]

2 = y(0) =  [mm] \wurzel{e^{2C} + 1}[/mm], also 4 = [mm] e^{2C} [/mm] + 1

Jetzt Du !

FRED


>  
> Wenn ich nun die Anfangsbedinung y(0) = 2 anwende - also x
> = 0 setze
>  und K := [mm]e^{2C},[/mm] mit K [mm]\in \IR[/mm]
>  y = [mm]\pm \wurzel{(1-0^2) * K + 1}[/mm]
>  
> y = [mm]\pm \wurzel{(1) * K + 1}[/mm]
>  
> wobei hier aber niemals 2 herauskommt? was mache ich hier
> falsch ?


Bezug
                                        
Bezug
Differentialgleichugen mit AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:53 Mo 09.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Oh okay, so war das gemeint - dankeschön
>  
> nun würde ja folgend weitergemacht:
>  
> [mm]y^2[/mm] - 1 = [mm](1-x^2)[/mm] * [mm]e^{2C}[/mm]
>  [mm]y^2[/mm] = [mm](1-x^2)[/mm] * [mm]e^{2C}[/mm] + 1
>  y = [mm]\pm \wurzel{(1-x^2) * e^{2C} + 1}[/mm]
>  
> Wenn ich nun die Anfangsbedinung y(0) = 2 anwende -
> also x = 0 setze und K := [mm]e^{2C},[/mm] mit K [mm]\in \IR[/mm]

>  y = [mm]\pm \wurzel{(1-0^2) * K + 1}[/mm]
>  
> y = [mm]\pm \wurzel{(1) * K + 1}[/mm]
>  
> wobei hier aber niemals 2 herauskommt?
> was mache ich hier falsch ?


hallo babapapa,

Falsch ist, dass du y=2 gar nicht einsetzt und
hier irgendwie plötzlich annimmst, du
könntest x für die Lösungsfunktion überhaupt
ein für allemal gleich Null setzen: das ist
natürlich Unsinn. Du brauchst das Wertepaar
(x=0,y=2) nur, um die Konstante K zu berechnen.
Sobald du den Zahlenwert von K hast, setzt du
ihn in die Gleichung ein:

Ausgangsgleichung:

    $\ y\ =\ [mm] \pm \wurzel{(1-x^2) * K + 1}$ [/mm]

Hier x=0 und y=2 einsetzen; auf das [mm] \pm [/mm] kann man
verzichten !

    $\ 2\ =\ [mm] \wurzel{(1-0^2) * K + 1}$ [/mm]

Daraus erhält man K=3 und setzt dies in die
Ausgangsgleichung ein, um die Gleichung der
durch den Startpunkt [mm] P_0(0/2) [/mm] gehenden
Lösungskurve zu bekommen:

    $\ y\ =\ [mm] \wurzel{3*(1-x^2)+ 1}$ [/mm]

    $\ y\ =\ [mm] \wurzel{4-3\,x^2}$ [/mm]

Das sieht nach einer Halbellipse aus. Fragt sich noch,
ob es erlaubt ist, sie zur Vollellipse zu ergänzen ...

LG    Al-Chw.




Bezug
                                                
Bezug
Differentialgleichugen mit AWP: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:46 Mo 09.11.2009
Autor: babapapa

Danke euch beiden!


Bezug
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