Differentialgleichung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die kritischen Stellen der Funktion f(x,y)= [mm] 2x^2-2x^2y+4y^2
[/mm]
und untersuchen Sie , ob es sich dabei um Sattelpunkte, Minima oder Maxima handelt. |
Hallo,
Ich habe hier einen Problem, habe diese Aufgabe vor langer Zeit gemacht und habe dafür einen Rechenweg nur ich weiss nicht wie ich darauf damals gekommen bin an einer Stelle.
f(x)= 4x - 4xy
f(y)= [mm] -2x^2 [/mm] + 8y
f(xx)= 4-4y
f(yy)= 8
f(xy)= -4x
bis fyy komme ich klar aber wie habe ich f(xy)= -4x raus? Also was habe ich damals da gemacht kann mir jemand helfen? Danke schonmal.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Sa 13.06.2015 | | Autor: | nkln |
du bildest ja da partielle Ableitungen
$ [mm] f(x,y)=2x^2-2x^2y+4y^2 [/mm] $
$ [mm] \frac{df}{dx}= [/mm] 4x-4xy$
alle ableitungen nach $ x$
$ [mm] \frac{df^2}{dx^2}= [/mm] 4-4y$
wieder alle ableitungen nach $ x$
$ [mm] \frac{df}{dy}= -2x^2+8y$ [/mm]
alle ableitungen nach $ y$
$ [mm] \frac{df^2}{dy^2}= [/mm] 8$
alle ableitungen nach $ y$
jetzt zu erst nach $ x $ ableiten und dann nach $ y$ ist in den meisten fällen äquivalente dazu wenn man erst nach $ y$ ableitet und dann$ x$ mit dem satz von schwarz glaube ich . hat nur ganz wenige ausnahmen,also immer beachtung schenken und nachrechnen ,ob das wirklich stimmt!
also
$ [mm] \frac{df}{dx}= [/mm] 4x-4xy$
alle ableitungen nach $ x$
$ [mm] \frac{df^2}{dxy}= [/mm] -4x$
alle ableitungen nach $ y $
$ [mm] \frac{df}{dy}= -2x^2+8y$ [/mm]
alle ableitungen nach $ y$
$ [mm] \frac{df^2}{dyx}= [/mm] -4x$
alle ableitungen nach $ x$
jetzt gradient $ [mm] \nabla [/mm] f(x,y) = [mm] \vektor{\frac{df}{dx} \\ \frac{df}{dy}} [/mm] = [mm] \vektor{4x-4xy \\ -2x^2+8y} [/mm] = 0 $ also die LGS lösen und dann sollte die potentiellen kritischen Stellen raus kommen und diese dann per Hessematrix überprüfen bzw. die definitheit der hesse matrix überprüfen
zur info nochmal : http://de.wikipedia.org/wiki/Hesse-Matrix
und definitheit : http://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit
also dann die Eigenwerte von $ [mm] Hessef(x,y)=\pmat{ \frac{df^2}{dx^2} & \frac{df^2}{dxy} \\ \frac{df^2}{dyx}& \frac{df^2}{dy^2} }$ [/mm]
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