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Differentialgleichung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 Mi 24.11.2004
Autor: Woltan

Hey Leute,
ich hab mal wieder ein Problem mit einer ekligen Differentialgleichung. Vielleicht weiß einer von euch ja wie man sie löst, da ich aus dem bronstein auch nit schlau geworden bin:

[mm] $\ddot{y}+\alpha \dot{y}^2 [/mm] = [mm] \beta$ [/mm]

Wie nennt man so eine Differentialgleichung?
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
Greetz Woltan






Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Differentialgleichung: Substitution + TdV
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 Mi 24.11.2004
Autor: mathemaduenn

Hallo Woltan,
Ich nehme mal an [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] sind Konstanten dann kannst du:
1. [mm]u(t)=\dot{y}[/mm] substituieren
2. Dgl mit Trennung der Variablen (steht wahrscheinlich auch im Bronstein) lösen
3. zurück substituieren und noch einmal integrieren
Alles klar?
gruß
mathemaduenn

Bezug
                
Bezug
Differentialgleichung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:02 Mi 24.11.2004
Autor: Woltan

Hallo mathemaduenn,
die substitution ist ja kein problem. allerdings hab ich ein problem die differentialgleichung anschließend mit trennung der variablen zu lösen. Das einzige problem hierbei ist das $y'^2$ bzw. das [mm] $u^2$. [/mm] Wenn ich jetzt nach trennung der Variablen vorgehe würde das bei mir so aussehen:

[mm] $\ddot [/mm] y + [mm] \alpha \dot y^2 [/mm] = [mm] \beta [/mm] $
mit [mm] $\bruch{dy}{dt} [/mm] = u(t)$
[mm] $\bruch{du}{dt} [/mm] + [mm] \alpha u^2 [/mm] = [mm] \beta$ [/mm]
[mm] $\gdw [/mm] du + [mm] \alpha u^2 [/mm] dt = [mm] \beta [/mm] dt$
[mm] $\gdw \integral{du} [/mm] + [mm] \alpha \integral{u^2 dt} [/mm] = [mm] \integral{\beta dt}$ [/mm]
[mm] $\gdw [/mm] u(t) + [mm] \bruch{\alpha}{3} u^3 [/mm] = [mm] \beta [/mm] t + [mm] C_{1}$ [/mm]
rücksubstitution:
[mm] $\bruch{dy}{dt} [/mm] + [mm] \bruch{\alpha}{3} \left(\bruch{dy}{dt}\right)^3 [/mm] = [mm] \beta [/mm] t + [mm] C_{1}$ [/mm]
erneute integration
[mm] $\gdw [/mm] y + [mm] \bruch{\alpha}{12} y^4 [/mm] = [mm] \beta t^2 [/mm] + [mm] C_{1} [/mm] t + [mm] C_{2}$ [/mm]

irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, dass das richtig ist. anbei sei noch bemerkt dass die konstanten [mm] $C_{1} [/mm] = 0$ und [mm] $C_{2} [/mm] = 0$ sind.
Ich hoffe du kannst mir nochmal weiter helfen.
vielen dank schonmal soweit
mfg Woltan


Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichung: TdV genauer
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:35 Mi 24.11.2004
Autor: mathemaduenn

Hallo Woltan,
> [mm]\ddot y + \alpha \dot y^2 = \beta[/mm]
>  mit [mm]\bruch{dy}{dt} = u(t)[/mm]
>  
> [mm]\bruch{du}{dt} + \alpha u^2 = \beta[/mm]

[ok]

>  [mm]\gdw du + \alpha u^2 dt = \beta dt[/mm]
> [mm]\gdw \integral{du} + \alpha \integral{u^2 dt} = \integral{\beta dt}[/mm]
>  
> [mm]\gdw u(t) + \bruch{\alpha}{3} u^3 = \beta t + C_{1}[/mm]

Hier ist ein Fehler drin.   [mm] \integral{u^2 dt} [/mm] kann man nicht so einfach bestimmen weil bezüglich t integriert werden muß.

> rücksubstitution:
>  [mm]\bruch{dy}{dt} + \bruch{\alpha}{3} \left(\bruch{dy}{dt}\right)^3 = \beta t + C_{1}[/mm]

Bevor du rücksubstituierst solltest Du die Gleichung nach u auflösen weil im nächsten Schritt wieder bezgl. t integriert werden muß.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn


Bezug
                                
Bezug
Differentialgleichung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:07 So 28.11.2004
Autor: Woltan

Hey ho,
leider komm ich selbst mit dieser Hilfe nicht weiter. Ich hab mitlerweile rausgefunden, dass diese Differentialgleichung eine Riccati DGL ist. Mehr nicht. Leider muss ich diese DGL bis Dienstag lösen können und bitte daher noch einmal um eure Hilfe!
MFG Woltan

Bezug
                                        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 So 28.11.2004
Autor: mathemaduenn

Hallo Woltan,
[mm] u' + \alpha *u^2 = \beta[/mm]
Dies ist eine Ricatti DGL aber eine recht einfache die man ohne besonderen Rechentrick lösen kann.
Trennung der Variablen:
[mm]u' =\beta - \alpha u^2[/mm]
[mm]\left[ \bruch{1}{\beta - \alpha u^2} \right] u' =1[/mm]
[mm]\integral \left[ \bruch{1}{\beta - \alpha u^2} \right] du =\integral 1 dx[/mm]
[mm] \bruch{arctanh \left( \wurzel{\bruch{\beta}{\alpha}}u \right) }{\wurzel{\alpha \beta}}=x+C[/mm]
Jetzt müsstest Du noch nach u umstellen dann für u wieder y' einsetzen und nochmals  integrieren.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn


Bezug
                                                
Bezug
Differentialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:01 Mo 29.11.2004
Autor: Woltan

Hey mathemaduenn,
ich hab das jetzt so gemacht wie du gesagt hast und im grunde hätte ich da auch ruhig selber drauf kommen können :-)
nur leider ist die lösung die ich da raus hab überhaupt nicht in einklang mit der bewegung die sie darstellen soll. da die lösung etwas von
... ln(tan(x) - 1) ...  hat und für den ort 0 hätte ich schon gern dass da 0 rauskommt ;-)
ich glaub ich muss nochmal den rechenweg überarbeiten wie ich auf die DGL gekommen bin, und werd natürlich das richtige ergebnis hier posten. Danke aber für die hilfe wenn das nächste mal so eine eklige DGL vorbeischaut werd ich diese auch sogleich dissen, also lösen.
MFG danke nochmal
Woltan

Bezug
                                                        
Bezug
Differentialgleichung: Anfangswert einsetzen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:25 Di 30.11.2004
Autor: mathemaduenn

Hallo Woltan,
>  nur leider ist die lösung die ich da raus hab überhaupt
> nicht in einklang mit der bewegung die sie darstellen soll.

Das ist nat. weniger schön.

> da die lösung etwas von
>  ... ln(tan(x) - 1) ...  hat und für den ort 0 hätte ich
> schon gern dass da 0 rauskommt ;-)

Beim integrieren(2mal) entstehen 2 Konstanten und eine davon kannst Du so festlegen das am Ort 0 auch 0 rauskommt.
gruß
mathemaduenn

Bezug
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