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Hallo kann mir einer weiterhelfen.
Habe keine Ahnung wie ich diese Aufgabe löse.
Gegeben sei folgende DGL:
y'= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * y + x
Bestimmen Sie die Funktion y: R+ -> R mit y(0)=0, welche die DGL löst.
für eine Lösung wäre ich dankbar.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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Hier würde ich folgenden Weg vorschlagen:
1. Störterm "+x" weglassen, und 'restliche' DGL mittels Separation der Variablen lösen
2. Variation der Konstanten
3. Randbedingung einsetzen
Also: zuerst lösen wir die DGL [mm]y'=\bruch{1}{x}y[/mm].
Dazu schreiben wir [mm]y'[/mm] um als [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm]:
[mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{1}{x}y[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]\bruch{1}{y}dy=\bruch{1}{x}dx[/mm].
Auf beiden Seiten integrieren und die Integrationskonstante nicht vergessen liefert:
[mm]ln|y|=ln|x|+c[/mm].
Das lässt sich nach [mm]y[/mm] auflösen: [mm]y=x \cdot e^c=d \cdot x[/mm] , wobei [mm]d[/mm] einfach nur eine 'andere' Konstante bezeichnen soll (es gilt: [mm]d=e^c[/mm], was aber nicht weiter wichtig ist).
Variation der Konstanten: [mm]d[/mm] könnte auch eine Funktion [mm]d(x)[/mm], somit:
[mm]y=d(x) \cdot x[/mm]
Diese Funktionsgleichung wird jetzt abgeleitet (Produktregel!), und in die ursprüngliche DGL eingesetzt:
[mm]y'=d' \cdot x + d \cdot 1[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]d' \cdot x + d = \bruch{1}{x} \cdot (d \cdot x) + x[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]d' \cdot x +d = d + x[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm](d'-1) \cdot x=0[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]d'(x)=1[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]d(x)=x+e[/mm] mit [mm]e \in \IR[/mm].
Und somit lautet die Funktion: [mm]y(x)=(x+e) \cdot x= x^2 + ex[/mm]
Diese Funktion soll noch die Bedingung [mm]y(0)=0[/mm] erfüllen, was aber anscheinend für alle [mm]e \in \IR[/mm] erfüllt ist.
Ich hoffe, ich habe jetzt keinen Fehler gemacht.Aber wenn man die gefundene Gleichung [mm]y(x)=x^2+ex[/mm] in die ursprüngliche DGL einsetzt, so ist diese erfüllt.
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