Differentialgleichung < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:55 Mo 27.10.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich habe folgendes Problem: Sei [mm] I\subset\IR [/mm] ein Intervall und [mm] y:I\to\IR^n [/mm] eine differenzierbare Lösung der DGL
[mm] \math{y'(x)=f(x,y(x)), x\in{I}}.
[/mm]
Jetzt muss ich auf Grundlage dessen [mm] \math{y''} [/mm] berechnen.
Ich habe an die Kettenregel gedacht, sprich: Ich schreibe die Funktion ein wenig um:
[mm] \math{y'(x)=f(x,y(x))=(h\circ{g})(x)} [/mm] mit [mm] \math{g:x\mapsto{(x,y(x))}} [/mm] und [mm] \math{h(x)...} [/mm] ---> Wie ist jetzt h zu wählen?
Kettenregel: [mm] D(h\circ{g})(x)=(Dh)(g(x))\circ(Dg(x))
[/mm]
Betrachte ich die einzelnen:
[mm] \math{(Dg)(x)=(D(x,y(x))=(1,y'(x))=(1,f(x,y(x)))} [/mm] --> ?
So richtig weiß ich noch nicht, wie ich vorgehen muss; wie man unschwer erkennen kann  Vielleicht könnt ihr Licht ins Dunkel bringen!?
MfG barsch
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:29 Di 28.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> ich habe folgendes Problem: Sei [mm]I\subset\IR[/mm] ein Intervall
> und [mm]y:I\to\IR^n[/mm] eine differenzierbare Lösung der DGL
>
> [mm]\math{y'(x)=f(x,y(x)), x\in{I}}.[/mm]
>
> Jetzt muss ich auf Grundlage dessen [mm]\math{y''}[/mm] berechnen.
>
> Ich habe an die Kettenregel gedacht, sprich: Ich schreibe
> die Funktion ein wenig um:
>
> [mm]\math{y'(x)=f(x,y(x))=(h\circ{g})(x)}[/mm] mit
> [mm]\math{g:x\mapsto{(x,y(x))}}[/mm] und [mm]\math{h(x)...}[/mm] ---> Wie ist
> jetzt h zu wählen?
Wähle h = f, dann: h(g(x)) = f(x,y(x)) = y'(x), somit:
y''(x) = f'(g(x))*g'(x) = gradf(x,y(x))*(1,y'(x)) = [mm] f_x(x,y(x))+f_y(x,y(x))*y'(x)
[/mm]
FRED
>
> Kettenregel: [mm]D(h\circ{g})(x)=(Dh)(g(x))\circ(Dg(x))[/mm]
>
> Betrachte ich die einzelnen:
>
> [mm]\math{(Dg)(x)=(D(x,y(x))=(1,y'(x))=(1,f(x,y(x)))}[/mm] --> ?
>
> So richtig weiß ich noch nicht, wie ich vorgehen muss; wie
> man unschwer erkennen kann Vielleicht könnt ihr Licht
> ins Dunkel bringen!?
>
> MfG barsch
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Di 28.10.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
vielen Dank für die Antwort.
Nur noch eine kurze Nachfrage zur Notation
> [mm] f_x(x,y(x))+f_y(x,y(x))\cdot{}y'(x) [/mm]
[mm] f_x [/mm] (also das x im Index) bedeutet: f abgeleitet nach x und dementsprechend [mm] f_y, [/mm] f abgeleitet nach y(x), zumindest ergebe es so einen Sinn - die Notation sagt mir momentan nichts (dass wir sie nicht doch irgendwann schon verwendet haben, heißt das aber noch lange nicht ).
MfG barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Di 28.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo barsch!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Das hast Du richtig erkannt.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Mi 29.10.2008 | | Autor: | barsch |
Hallo,
da die Aufgabe ähnlich ist, dachte ich, ich hänge diese Frage einfach hier an.
Es ist
[mm] \math{v(h):=f(t+ah, y(t)+b*h*f(t,y(t)))}, [/mm] wobei Parameter [mm] a,b\in\IR. [/mm]
Jetzt soll ich v'(h) berechnen. Wenn ich jetzt so vorgehe wie bereits bei der Aufgabe zuvor:
[mm] \math{e(h)=(t+ah, y(t)+b*h*f(t,y(t)))}, [/mm] so ist
[mm] \math{v'(h)=(f(e(h)))'=f'(e(h)*e'(h)=f'((t+ah, y(t)+b*h*f(t,y(t))))*\vektor{a \\ b*f(t,y(t))}}
[/mm]
Probleme habe ich bei der Bestimmung von
[mm] \math{f'((t+ah, y(t)+b*h*f(t,y(t))))}.
[/mm]
MfG barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Mi 29.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> da die Aufgabe ähnlich ist, dachte ich, ich hänge diese
> Frage einfach hier an.
>
> Es ist
>
> [mm]\math{v(h):=f(t+ah, y(t)+b*h*f(t,y(t)))},[/mm] wobei Parameter
> [mm]a,b\in\IR.[/mm]
>
> Jetzt soll ich v'(h) berechnen. Wenn ich jetzt so vorgehe
> wie bereits bei der Aufgabe zuvor:
>
> [mm]\math{e(h)=(t+ah, y(t)+b*h*f(t,y(t)))},[/mm] so ist
>
> [mm]\math{v'(h)=(f(e(h)))'=f'(e(h)*e'(h)=f'((t+ah, y(t)+b*h*f(t,y(t))))*\vektor{a \\ b*f(t,y(t))}}[/mm]
>
Das ist O.K.
FRED
> Probleme habe ich bei der Bestimmung von
>
> [mm]\math{f'((t+ah, y(t)+b*h*f(t,y(t))))}.[/mm]
>
> MfG barsch
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Mi 29.10.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
vielen, vielen Dank.
> > [mm]\math{v'(h)=(f(e(h)))'=f'(e(h)*e'(h)=f'((t+ah, y(t)+b*h*f(t,y(t))))*\vektor{a \\ b*f(t,y(t))}}[/mm]
>
> Das ist O.K.
>
> FRED
Ich dachte, man könne [mm] \math{f'} [/mm] noch etwas präzisieren, scheint dann aber nicht zu gehen.
Danke.
MfG barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Mi 29.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> vielen, vielen Dank.
>
> > > [mm]\math{v'(h)=(f(e(h)))'=f'(e(h)*e'(h)=f'((t+ah, y(t)+b*h*f(t,y(t))))*\vektor{a \\ b*f(t,y(t))}}[/mm]
>
> >
> > Das ist O.K.
> >
> > FRED
>
> Ich dachte, man könne [mm]\math{f'}[/mm] noch etwas präzisieren,
> scheint dann aber nicht zu gehen.
Ich kenne doch f nicht
FRED
>
> Danke.
>
> MfG barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Mi 29.10.2008 | | Autor: | barsch |
Hallo,
auch auf die Gefahr hin, dass ich nerve...
Dann habe ich auch keine Möglichkeit,
[mm] \math{v'(h)=(f(e(h)))'=f'(e(h)\cdot{}e'(h)=f'((t+ah, y(t)+b\cdot{}h\cdot{}f(t,y(t))))\cdot{}\vektor{a \\ b\cdot{}f(t,y(t))}}
[/mm]
die Vektorschreibweise [mm] \vektor{a \\ b*f(t,y(t))} [/mm] "wegzubekommen"?
Wie bei
[mm] gradf(x,y(x))*\vektor{1\\y'(x)}=f_x(x,y(x))*1+f_y(x,y(x))\cdot{}y'(x) [/mm] ?
MfG barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Mi 29.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Klar. Es ist doch f' = gradf . Jetzt Skalarprodukt.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Mi 29.10.2008 | | Autor: | fred97 |
gradf = [mm] (f_x,f_y)
[/mm]
oder allgemeiner, wenn f eine Funktion der n Var. [mm] x_1, [/mm] ... [mm] x_n [/mm] ist:
gradf = [mm] (f_{x_1}, [/mm] ... , [mm] f_{x_n})
[/mm]
FRED
|
|
|
|
![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
