Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Takeela |
Hallo miteinander.
Folgendes Anliegen habe ich: Zur Übung sollten wir für Analysis eine gewöhnliche Differenzialgleichung 3. Ordnung betrachten, deren genaue Form an dieser Stelle keine Rolle spielt, da ich nur eine Frage zum Formalismus habe. Aus diversen Gründen ist es mir nicht möglich, die Lin. Alg. Vorlesung in diesem Semester zu besuchen, deshalb meine Frage.... Ich habe nun die Lösungen der DGL gefunden, nennen wir sie [mm] y_{1}, y_{2}, y_{3}. [/mm] Die Aufgabenstellung bereitet mir aber Schwierigkeiten, mit den Begrifflichkeiten aus Lin. Alg.: Wir sollen die Basis des reellen Vektorraumes aller reellwertigen Lösungen bestimmen... Okay.... [mm] y_{1}, y_{2}, y_{3} [/mm] sind ja komplexwertig - das macht aber nichts, ich bilde einfach Re [mm] y_{i}. [/mm] Nur, welche Form hat so eine Basis formell? Also muss ich da irgendwas beachten, Vektorschreibweise oder so? Vielleicht mag jemand ein Beispiel geben... Desweiteren soll ich zeigen, dass die Lösungen linear unabhängig sind... So, hab mich versucht schlau zu machen und folgendes gefunden: Zwei Vektoren sind lin. unabh., wenn [mm] \lambda \vec{a} [/mm] + [mm] \gamma \vec{b}=0 [/mm] nur mit [mm] \lambda [/mm] = [mm] \gamma [/mm] = 0 zu erfüllen ist. Das habe ich auch verstanden, nur, wie setze ich sowas nun um? Ich habe ja keine Vektoren, sondern Funktionen...
Ich würde mich über eine kurze Hilfestellung wirklich sehr freuen... :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Mo 12.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
y''=-y
Lösungen reell y1=sinx y2=cosx Lösung kompex [mm] y1=e^{ix} y2=e^{-ix}
[/mm]
alle rellen Lösungen haben die Form y=asinx+bcosx
also sind sinx, cosx ne Basis des Raumes aller Lösungen.
Der Raum aller stet. Funktionen ist ein Vektorraum. Das hier ist ein Unterraum davon. Vektoren sind nicht nur so "Dinger" im [mm] \IR^n [/mm] sondern alle objekte, die die Bed, für einen Vektorraum bilden.
sinx und cosx sind lin unabh. da es kein [mm] a,b\ne0 [/mm] gibt, so dass asinx+bcosx=0 (natürlich gibt es Werte [mm] x_i [/mm] für die Gleichung erfüllt sein könnte, sie muss aber ja für alle x erfüllt sein.)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Takeela |
Okay.... ich danke dir natürlich für deine Antwort herzlich!
Nochmal zum Verständnis: Ich habe ja drei Nullstellen [mm] \omega_{i} [/mm] des charakteristischen Polynoms (vom Grad 3) gefunden, und damit drei komplexe Lösungen [mm] y_{i}(x) [/mm] der Form: [mm] \overline{y}_{i}(x)=e^{i*\omega_{i}*x}. [/mm] Sind nun meine reellen Lösungen nur die Cosinus-Terme, oder etwas in der Art: [mm] y_{i}(x)=a*cos(\omega_{i}*x) [/mm] + [mm] b*sin(\omega_{i}*x)? [/mm] Bilden nun meine drei [mm] y_{i}(x), [/mm] mit jeweils unterschiedlichem [mm] \omega_{i} [/mm] (etwa der Form [mm] \omega_{1}=5i, \omega_{2}=1-2i, \omega_{3}=-1-i) [/mm] eine linear unabhängige Basis?
Wobei mir noch auffällt, dass meine [mm] \omega_{i} [/mm] ja komplexwertig sind... Darf dies sein (wenn nach [mm] \IR-wertigen [/mm] Lösungen gefragt ist...)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Di 13.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] e^{(a+ib)}=e^{ax}*e^{ib}=e^{ax}*(cosbx+isinbx)
[/mm]
jetzt Realteil ist eine reelle Basis
Deine komplexen Lösungen bilden natürlich auch ein Fundamentalsystem, denn jede Linearkomb. davon bildet doch auch ne Lösung! (einfach einsetzen und sehen, dass es stimmt.
Gruss leduart
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