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| Aufgabe | Gegeben ist die Differentialgleichung .
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieser [mm] (1+x^2)y'+2xy=1 [/mm] Differentialgleichung, sowie ihre
spezielle Lösung, für die y(1)=2 gilt.
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Ich blick bei Diff-gl. ned so richtig durch, also ich habe bisher als homogene DGL ausgerechnet:
[mm] y=e^{x^2+1}*C
[/mm]
wie gehts dann weiter?
Habe für [mm] h'(x)=1/(x^2+1)^2 [/mm] raus aber die kann ich nicht integrieren?
Danke schonmal
Ich habe diese Frage im Forum von matheplanet.com gestellt.
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Hallo fladenbrOd und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Gegeben ist die Differentialgleichung .
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieser [mm](1+x^2)y'+2xy=1[/mm]
> Differentialgleichung, sowie ihre
> spezielle Lösung, für die y(1)=2 gilt.
>
> Ich blick bei Diff-gl. ned so richtig durch, also ich habe
> bisher als homogene DGL ausgerechnet:
> [mm]y=e^{x^2+1}*C[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
ich komme da mit Trennung der Variablen auf etwas anderes:
[mm] $(1+x^2)y_h'+2xy_h=0\Rightarrow y_h'=y_h\cdot{}\left(-\frac{2x}{1+x^2}\right)\Rightarrow \frac{y_h'}{y_h}=-\frac{2x}{1+x^2}$
[/mm]
Beide Seiten integrieren:
[mm] $\Rightarrow \ln|y_h(x)|=-\ln(x^2+1) [/mm] \ + \ c$
[mm] $\Rightarrow |y_h(x)|=e^{c}\frac{1}{x^2+1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y_h(x)=\frac{\tilde{c}}{x^2+1}$
[/mm]
Das passt auch, wenn ich das in die homogene Dgl einsetze
Nun versuch's mal weiter mit Variation der Konstanten ...
> wie gehts dann weiter?
> Habe für [mm]h'(x)=1/(x^2+1)^2[/mm] raus aber die kann ich nicht
> integrieren?
> Danke schonmal
>
> Ich habe diese Frage im Forum von matheplanet.com gestellt.
LG
schachuzipus
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Okay alles klar, hab dann weiter gerechnet:
[mm] h'(x)=\bruch{1}{x^2+1}
[/mm]
daraus wird
h(x)=arctan(x)+C
und
[mm] Yp=\bruch{arctan(x)+C}{x^2+1}
[/mm]
und als allgemeine Lsg:
[mm] Ya=\bruch{arctan(x)+C}{x^2+1}+\bruch{C}{x^2+1}=\bruch{arctan(x)+2C}{x^2+1}=\bruch{arctan(x)+D}{x^2+1}
[/mm]
Stimmt das so?
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Hallo nochmal,
> Okay alles klar, hab dann weiter gerechnet:
> [mm]h'(x)=\bruch{1}{x^2+1}[/mm]
> daraus wird
> h(x)=arctan(x)+C
> und
> [mm]Yp=\bruch{arctan(x)+C}{x^2+1}[/mm]
> und als allgemeine Lsg:
>
> [mm]Ya=\bruch{arctan(x)+C}{x^2+1}+\bruch{C}{x^2+1}=\bruch{arctan(x)+2C}{x^2+1}=\bruch{arctan(x)+D}{x^2+1}[/mm]
>
> Stimmt das so?
Watt, watt? Ich habe keine Ahnung, was du da machst, sorry, vllt. könntest du ein paar erklärende Worte spendieren ...
Mit VdK ist doch nun [mm] $y(x)=\frac{\tilde{c}(x)}{x^2+1}$
[/mm]
Nun berechne mal $y'(x)$ und setze alles in die Ausgangsdgl. ein, da hebt sich fast alles weg, und es bleibt ein wirklich einfacher Ausdruck für [mm] $\tilde{c}'(x)$, [/mm] den du durch Integrieren bestimmen kannst
LG
schachuzipus
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oh man keine ahnung so stehts hier im Skript bei Variation der Konstanten.
Habs jetzt mal so gemacht wie du gesagt hast und:
[mm] y'h=\bruch{c'*(x^2+1)-c*2x)}{(x^2+1)^2}
[/mm]
und dann kürzt sich bei mir alles weg und c'=1 bleibt über!
hoffe ich habe jetzt wenigstens mal was richtig gemacht
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Hallo nochmal,
> oh man keine ahnung so stehts hier im Skript bei Variation
> der Konstanten.
> Habs jetzt mal so gemacht wie du gesagt hast und:
> [mm]y'h=\bruch{c'*(x^2+1)-c*2x)}{(x^2+1)^2}[/mm]
> und dann kürzt sich bei mir alles weg und c'=1 bleibt
> über! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> hoffe ich habe jetzt wenigstens mal was richtig gemacht
Ja, etwas unschön aufgeschrieben, aber [mm] $\tilde{c}'(x)=1$ [/mm] stimmt
Damit ist also [mm] $\tilde{c}(x)=x [/mm] \ + \ [mm] \lambda$ [/mm] das gesuchte [mm] $\tilde{c}$, [/mm] was für die allg. Lösung noch fehlte.
Mit dem gegebenen Anfangswert kannst du nun die im anderen Teil gesuchte spezielle Lösung (also das passende [mm] $\lambda$ [/mm] dazu) bestimmen
LG
schachuzipus
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Hmm okay,
ich hab jetzt
[mm] c(x)=x+\lambda
[/mm]
In welche Gleichung kommt das jetzt rein in die homogene oder die partikuläre? ich habs in die partikuläre gepackt:
[mm] yp=\bruch{x+c}{x^2+1}
[/mm]
und dann um die allgemeine Lösung rauszubekommen die homogene und die partikuläre addiert.
Ist das richtig so?
ya = yh + yp = [mm] \bruch{c}{x^2+1} [/mm] + [mm] \bruch{x+c}{x^2+1}
[/mm]
Ach danke für die schnelle hilfe!
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Hallo fladenbr0t,
> Hmm okay,
> ich hab jetzt
> [mm]c(x)=x+\lambda[/mm]
> In welche Gleichung kommt das jetzt rein in die homogene
> oder die partikuläre? ich habs in die partikuläre gepackt:
> [mm]yp=\bruch{x+c}{x^2+1}[/mm]
Du hast den Ansatz
[mm]y\left(x\right)=\bruch{C\left(x\right)}{1+x^{2}}[/mm]
gewählt.
Demzufolge mußt Du die Lösung für [mm]C\left(x\right)[/mm] auch hier einsetzen:
[mm]y\left(x\right)=\bruch{C\left(x\right)}{1+x^{2}}=\bruch{x+\lambda}{1+x^{2}}[/mm]
[mm]\gdw y\left(x\right)=\bruch{x}{1+x^{2}}+\bruch{\lambda}{1+x^{2}}[/mm]
> und dann um die allgemeine Lösung rauszubekommen die
> homogene und die partikuläre addiert.
> Ist das richtig so?
>
> ya = yh + yp = [mm]\bruch{c}{x^2+1}[/mm] + [mm]\bruch{x+c}{x^2+1}[/mm]
Wenn Du jetzt noch [mm]\lambda=2c[/mm] setzt, dann stimmt das.
>
> Ach danke für die schnelle hilfe!
Gruß
MathePower
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