Differentialgleichung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Sa 02.05.2009 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
Ich soll zeigen, dass die Differentialgleichung
[mm] m\bruch{\partial^2 x}{\partial t^2}=-Dx
[/mm]
die allgemeine Lösung
[mm] x(t)=C_1sin(\omega t)+C_2cos(\omega [/mm] t)
hat.
Ich bin einfach so vorgegangen:
[mm] x(t)=C_1sin(\omega t)+C_2cos(\omega [/mm] t)
[mm] \bruch{\partial x}{\partial t}=C_1*\omega *cos(\omega t)-C_2*\omega *sin(\omega [/mm] t)
[mm] \bruch{\partial^2 x}{\partial t^2}= -C_1*\omega^2*sin(\omega t)-C_2*\omega^2*cos(\omega [/mm] t)
Dann oben eingesetzt und auf
[mm] \omega^2 [/mm] m=D
gekommen.
Nun habe ich zwar den Zusammenhang von omega, m und D gezeigt, aber ist damit auch schon gezeigt, dass die allgemeine Lösung gilt?
Gruß Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Sa 02.05.2009 | | Autor: | xPae |
Hi,
vielleicht ist es schicker, wenn man die Differentialgleichung ausrechnet und dann zeigt, dass das die allgmeine Lösung ist:
[mm] m*\bruch{\partial²x}{\partial²*t}+D*x=0
[/mm]
[mm] x+\bruch{D}{m}*x [/mm] = 0 (hier müssen zwei Punkte auf das x(erste), weiss leider nicht, wie das geht :( )
mit exp. Ansatz folgt die char. Gleichung:
[mm] \lambda²+\bruch{D}{m}
[/mm]
[mm] \lambda=\wurzel{-\bruch{D}{m}}
[/mm]
z=a+ib ; a= 0 [mm] b=\wurzel{\bruch{D}{m}}=\omega [/mm] -> Ich nenne das hier erstmal einfach nur omega.
-> die allgmeine Lsg. wäre hier: [mm] y=e^{a*x}*(C_{1}*cos(b*x)+C_{2}*sin(b*x)), [/mm] dann folgt hier sofort mit a=0 :
[mm] x(t)=C_{1}*cos(\omega*t)+C_{2}*sin(\omega*t)
[/mm]
[mm] \omega²=\bruch{D}{m}
[/mm]
Ich hoffe ich habe keinen Fehler gemacht und konnte Dir helfen:
Gruß xPae
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:11 Mi 06.05.2009 | | Autor: | ONeill |
Besten Dank für die Hilfe!
Mfg christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Mi 06.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo xPae
Deine Loesung ist nicht "schicker", auch hier hat man ja den Ansatz [mm] x(t)=C*e^{\lambda*t} [/mm] reingesteckt und [mm] \lambda [/mm] statt [mm] \\omega [/mm] bestimmt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Mi 06.05.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
die Punkte kannst du mit \dot{x} eingeben:
[mm] $\dot{x}$
[/mm]
Jedes d mehr vor dem Befehl gibt dann einen Punkt mehr:
\ddot{x} \dddot{x}
ergibt:
[mm] $\ddot{x}$ [/mm] bzw [mm] $\dddot{x}$ [/mm] und so fort.
LG
kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Mi 06.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nur kurz: Dein Vorgehen ist vollstaendig richtig. Die andere methode ist nicht besser, sie setzt ja auch einen ansatz ein, naemlich [mm] C*e^{\lambda*t} [/mm] und kommt zum gleichen Ergebnis. also bleib ruhig bei deinem Weg.
da du eine Dgl 2 ter ordnung hast und 2 frei waehlbare Konstanten, die erst durch die Anfangsbed, x(0) und x^*(0) festgelegt werden, ist das auch die allgemeine Loesung.
es gibt einen Beweis, dass es keine anderen Loesungen gibt, aber den brauchst du sicher nicht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Mi 06.05.2009 | | Autor: | ONeill |
Hallo!
Danke für die rege Beteiligung und den Hinweis zur Formatierung. In der Übung hätte es gereicht (hab da extra noch mal nachgefragt) abzuleiten und einzusetzen.
In der Vorlesung sind wir dann nochmal einen ausführlicheren Weg gegangen, mit Betrachtung von Randbedingungen etc.
Ich bin daher gut versorgt, vielen Dank für eure Mühe 
Gruß Christian
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