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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Differentialgleichung
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Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:26 Sa 18.07.2009
Autor: notinX

Aufgabe
Differentialgleichung:
[mm] \ddot x+6\dot x+5x=24e^t [/mm]
a) Bestimmen Sie die allg. Lsg. der hom. GDL
[mm] $\ddot x+6\dot [/mm] x+5x=0$
b) Bestimmen Sie eine Lsg. der inhom. DGL, beispielsweise mit Hilfe des Ansatzes [mm] x(t)=ae^{bt} [/mm]
c) Geben Sie die allgemeine Lsg. der GDL an, sowie eine spezielle Lsg., die die Anfangsbedingungen [mm] $x(0)=\dot [/mm] x(0)=0$

Zu a)
Ansatz: [mm] x(t)=ae^{bt} [/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] Ableitungen:
[mm] $\dot x(t)=abe^{bt} [/mm]
[mm] \ddot x(t)=ab^2e^{bt} [/mm]
[mm] \Rightarrow ab^2e^{bt}+6abe^{bt}+5ae^{bt}=0 [/mm]
[mm] \Rightarrow ae^{bt}(b^2+6b+5)=0 [/mm]
Das ist nur null wenn [mm] (b^2+6b+5)=0 [/mm] ist, also:
[mm] $b_{1/2}=3\pm\sqrt{9-5} \quad\Rightarrow b_{1/2}=3\pm [/mm] 2$

Somit ist die allg. Lsg.: [mm] $x(t)=ae^{5t}+ae^t$ [/mm]

Wie funktionieren Teilaufgabe b) und c) ?

        
Bezug
Differentialgleichung: Korrektur zu a.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Sa 18.07.2009
Autor: Loddar

Hallo notinX!


> Zu a)
> Ansatz: [mm]x(t)=ae^{bt}[/mm]

[ok] Es reicht hier aber auch: $x(t) \ = \ [mm] e^{b*t}$ [/mm] .


> [mm]\rightarrow[/mm] Ableitungen:
> [mm]$\dot x(t)=abe^{bt}[/mm]
> [mm]\ddot x(t)=ab^2e^{bt}[/mm]
> [mm]\Rightarrow ab^2e^{bt}+6abe^{bt}+5ae^{bt}=0[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow ae^{bt}(b^2+6b+5)=0[/mm]

[ok]

> Das ist nur null wenn
> [mm](b^2+6b+5)=0[/mm] ist, also:

[ok]


> [mm]b_{1/2}=3\pm\sqrt{9-5} \quad\Rightarrow b_{1/2}=3\pm 2[/mm]

[notok] Es muss heißen:
[mm] $$b_{12} [/mm] \ = \ [mm] \red{-}3\pm [/mm] 2 \ = \ ...$$


> Somit ist die allg. Lsg.: [mm]x(t)=ae^{5t}+ae^t[/mm]

[notok] Folgefehler.


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Differentialgleichung: b.) und c.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 Sa 18.07.2009
Autor: Loddar

Hallo notinX!


Setze $x(t) \ = \ [mm] a*e^{t}$ [/mm] in die DGL (mit Störglied) ein und führe anschließend einen Koeffizientenvergleich durch.

Die Gesamtlösung ergibt sich dann mittels Addition aus homogener und partikulärer Lösung.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 Sa 18.07.2009
Autor: notinX

Hallo Loddar,

danke erstmal. Was ist ein Störglied?

Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:12 Sa 18.07.2009
Autor: MathePower

Hallo notinX,


> Hallo Loddar,
>  
> danke erstmal. Was ist ein Störglied?


Das Störglied ist der Teil ohne x,
hier also die rechte Seite der DGL: [mm]24*e^{t}[/mm]


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:45 Sa 18.07.2009
Autor: notinX

Korrektur zu a) Somit ist die allg. Lsg.: $ [mm] x(t)=e^{-5t}+e^{-t} [/mm] $

zu b) ich setze [mm] x(t)=ae^{bt} [/mm] in die Gleichung ein:
[mm] ab^2e^{bt}+6abe^{bt}+5ae^{bt}=24e^t [/mm] Jetzt kann man [mm] ae^{bt} [/mm] ausklammern:
[mm] ae^{bt}(b^2+6b+5)=24e^{t} [/mm]
Jetzt habe ich aber das Problem, dass auf der rechten Seite der Gleichung nur "t" im Exponent und auf der Linken "bt" steht. Kann ich trotzdem einen Koeffizientenvergleich machen?

Bezug
                                        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:10 Sa 18.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo [mm] $\not\in [/mm] X$,

> Korrektur zu a) Somit ist die allg. Lsg.:
> [mm] $x(t)=\red{c_1}e^{-5t}+\red{c_2}e^{-t}$ [/mm] [ok]

Nicht die Konstanten vergessen!

>  
> zu b) ich setze [mm]x(t)=ae^{bt}[/mm] in die Gleichung ein:
>  [mm]ab^2e^{bt}+6abe^{bt}+5ae^{bt}=24e^t[/mm] Jetzt kann man [mm]ae^{bt}[/mm] [ok]
> ausklammern:
>  [mm]ae^{bt}(b^2+6b+5)=24e^{t}[/mm] [ok]
>  Jetzt habe ich aber das Problem, dass auf der rechten
> Seite der Gleichung nur "t" im Exponent und auf der Linken
> "bt" steht. Kann ich trotzdem einen Koeffizientenvergleich
> machen?

Ja natürlich, das bedeutet ja, dass $b=1$ sein muss, wenn beide Seiten der Gleichung identisch sein sollen.

Dementsprechend ist $a=...$

Zur Probe, ob alles stimmt, setze am Ende deine Lösung in die Dgl. ein und rechne die Richtigkeit nach ...


Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:27 So 19.07.2009
Autor: notinX

b) Koeffizientenvergleich für b=1 leifert:
[mm] $(a+6a+5a)=24\quad\Rightarrow\quad [/mm] a=2$  
Einsetzen der gefundenen Funktion zeigt, dass [mm] x(t)=2e^t [/mm] die DGL löst:
[mm] 2e^t+12e^t+10e^t=24e^t [/mm]

c) Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, ist die allgemeine Lsg. der DGL [mm] x(t)=2e^t+e^{-t}+e^{-5t}+ct+d [/mm]
Nun müssen noch die Koeffizienten c und d bestimmt werden
$x(0)=2+1+1+d$
[mm] $0=2+1+1+d\quad\Rightarrow\quad [/mm] d=-4$
[mm] $\dot x(0)=-5-1+2+c\quad\Rightarrow\quad [/mm] c=4$
Die spezielle Lsg. lautet dann: [mm] $x(t)=2e^t+e^{-t}+e^{-5t}-4t+4$ [/mm]


Bezug
                                                        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 So 19.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> b) Koeffizientenvergleich für b=1 leifert:
>  [mm](a+6a+5a)=24\quad\Rightarrow\quad a=2[/mm]  
> Einsetzen der gefundenen Funktion zeigt, dass [mm]x(t)=2e^t[/mm] [ok]die
> DGL löst:
>  [mm]2e^t+12e^t+10e^t=24e^t[/mm]
>  
> c) Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, ist die
> allgemeine Lsg. der DGL [mm]x(t)=2e^t+e^{-t}+e^{-5t}+ct+d[/mm]

Nein, die allg. Lösung ist [mm] $x(t)=\blue{x_{hom}(t)}+\green{x_{part}(t)}$ [/mm]

Also [mm] $x(t)=\blue{c_1e^{-t}+c_2e^{-5t}}+\green{2e^t}$ [/mm]

Da setze nun deine beiden Anfangsbedingungen ein, die liefern dir 2 Gleichungen in [mm] $c_1,c_2$, [/mm] die du dann noch lösen musst

>  Nun müssen noch die Koeffizienten c und d bestimmt
> werden
>  [mm]x(0)=2+1+1+d[/mm]
>  [mm]0=2+1+1+d\quad\Rightarrow\quad d=-4[/mm]
>  [mm]\dot x(0)=-5-1+2+c\quad\Rightarrow\quad c=4[/mm]
>  
> Die spezielle Lsg. lautet dann:
> [mm]x(t)=2e^t+e^{-t}+e^{-5t}-4t+4[/mm]
>  

LG

schachuzipus

Bezug
                                                                
Bezug
Differentialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 So 19.07.2009
Autor: notinX

[mm] $x(t)=c_1e^{-t}+c_2e^{-5t}+2e^t$ [/mm]
[mm] $\dot x(t)=-c_1e^{-t}-5c_2e^{-5t}+2e^t$ [/mm]
[mm] \Rightarrow x(0)=c_1+c_2+2 \Rightarrow c_1=-c_2-2 [/mm]
[mm] \dot x(0)=-c_1-5c_2+2 \Rightarrow c_2+2-5c_2+2=0 [/mm]
Aus diesn beiden Gleichungen ergeben sich [mm] c_2=1 [/mm] und [mm] c_1=-3 [/mm]
Also ist die spezielle Lsg: [mm] x(t)=-3e^{-t}+e^{-5t}+2e^t [/mm]

Bezug
                                                                        
Bezug
Differentialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 So 19.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> [mm]x(t)=c_1e^{-t}+c_2e^{-5t}+2e^t[/mm]
>  [mm]\dot x(t)=-c_1e^{-t}-5c_2e^{-5t}+2e^t[/mm]
>  [mm]\Rightarrow x(0)=c_1+c_2+2 \Rightarrow c_1=-c_2-2[/mm]
>  
> [mm]\dot x(0)=-c_1-5c_2+2 \Rightarrow c_2+2-5c_2+2=0[/mm]
> Aus diesn beiden Gleichungen ergeben sich [mm]c_2=1[/mm] und [mm]c_1=-3[/mm]
>  Also ist die spezielle Lsg: [mm]x(t)=-3e^{-t}+e^{-5t}+2e^t[/mm]

[daumenhoch]

LG

schachuzipus  


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