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hallo!!Ich habe zu dieser Aufgabe eine Frage.Viell. kann mir ja jemand helfen!!
Es geht um eien inhomogene Differentialgleichung 2 ten Grades:
[mm] y''(t)+y(t)=a*t*e^{-a*t} [/mm] für a > 0
Ich soll mit Hilfe der Varaition der Konsatenformel die Lösung x(t) mit:
x(t): R ---> R
Also die Formel geht folgendermaßen:
x(t) = [mm] x_{0}*cos(t)+y_{0}*sin(t)+ \integral_{0}^{t} [/mm] {sin(t-x)*g(x) dx}
so nun ein paar definitionen: [mm] g(x)=a*x*e^{-a*x} [/mm] Inhomogenität
Ich habe sin(t-x)=sin(t)*cos(x)-sin(x)*cos(t) gesetzt und das Integral aufgetielt.
Mein Problem ist eigentlich das Integral selber das dabei auftauch,nämlich:
[mm] \integral_{0}^{t} {x*sin(x)*e^{-ax} dx} [/mm] und zum anderen
[mm] \integral_{0}^{t} {x*cos(x)*e^{-ax} dx}!!!
[/mm]
Ich habe die partielle Integgration probiert -- geht aber nicht da beim Integral vom ersten das zweite auftaucht und umgekehrt  !!!
kann mir jemand einen tipp geben?mfg daniel
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Hallo,
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> [mm]\integral_{0}^{t} {x*sin(x)*e^{-ax} dx}[/mm] und zum anderen
>
> [mm]\integral_{0}^{t} {x*cos(x)*e^{-ax} dx}!!![/mm]
ich bevorzuge hier die komplexe Form.Die komplexe Form ist auch einfacher zu handhaben.
[mm]e^{\left( { - a\; + \;i} \right)\;x} \; = \;e^{ - a\;x} \;\left( {\cos \;x\; + \;i\;\sin \;x} \right)[/mm]
Dann wird das Integral [mm]\int {x\;e^{\left( { - a\; + \;i} \right)\;x} \;dx} [/mm], welches sich durch partielle Integration lösen läßt.
Der Realteil der Lösung ist dann einen Stammfunktion von [mm]\[
x\;e^{ - a\;x} \;\cos \;x[/mm], der Imaginärteil ist dann eine Stammfunktion von [mm]x\;e^{ - a\;x} \;\sin \;x[/mm].
Diese beiden Integrale kannst Du durch mehrfache partielle Integration lösen, wille heißen zuerst berechnest Du die Integrale[mm]e^{ - a\;x} \;\cos \;x[/mm] und [mm]e^{ - a\;x} \;\cos \;x[/mm].. Danach wendest Du auf die Integrale [mm]x\;e^{ - a\;x} \;\cos \;x[/mm] und [mm]\[
x\;e^{ - a\;x} \;\sin \;x[/mm] wiederum die partielle Integration an,mit den Stammfunktionen die Du zuvor ermittelt hast.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Sa 14.05.2005 | | Autor: | nitro1185 |
Danke für den Tipp.ich habe mir auch so etwas gedacht !!!
MFG daniel
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Hallo!!!Also ich heabe es gerechnet und das wird so "kompliziert" dass es nicht ganz stimmen kann.Ich weiß dass der ausdruck bzw. die lösung etwas langthermig ist aber so lange !!!
also habe folgendes getan:
[mm] \integral_{}^{} {x*e^{(-a+i)x} dx}=
[/mm]
= [mm] \bruch{x*e^{(-a+i)x}}{-a+i}-\bruch{e^{(-a+i)x}}{(-a+i)²}
[/mm]
So ich weiß bzw. ich verstehe dass der imaginärteil der Lösung die Stammfunktion von [mm] x*e^{-ax}*sin(x) [/mm] ist und der Realteil die Stammfunktion der Funktion [mm] x*e^{-ax}*cos(x)!!!Aber [/mm] wenn ich eben diese komplexe Zahl berechne und IM(z) und RE(z) berechne dann kommt so was lnagtermiges heraus!!Kann das sein,oder gibt es noch was zum vereinfachen oder habe ich falsch integriert was ich nicht glaube!!
MFG Daniel
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Hallo,
> So ich weiß bzw. ich verstehe dass der imaginärteil der
> Lösung die Stammfunktion von [mm]x*e^{-ax}*sin(x)[/mm] ist und der
> Realteil die Stammfunktion der Funktion
> [mm]x*e^{-ax}*cos(x)!!!Aber[/mm] wenn ich eben diese komplexe Zahl
> berechne und IM(z) und RE(z) berechne dann kommt so was
> lnagtermiges heraus!!Kann das sein,oder gibt es noch was
> zum vereinfachen oder habe ich falsch integriert was ich
> nicht glaube!!
dass das ganze kompliziert wird, habe ich auch gemerkt. Deshalb bin ich etwas anders vorgegangen:
Zunächst habe ich die Stammfunktionen von [mm]\int {e^{ - ax} \;\sin \;x} \;dx[/mm] und [mm]\int {e^{ - ax} \;\cos \;x} \;dx[/mm] bestimmt.
[mm]\begin{array}{l}
\int {e^{\left( {a\; + \;ib} \right)\;x} \;dx} \; = \;\frac{1}{{a\; + \;ib}}\;e^{\left( {a\; + \;ib} \right)\;x} \; = \;\frac{{a\; - \;ib}}{{a^{2} \; + \;b^{2} }}\;e^{\left( {a\; + \;ib} \right)\;x} \\
= \;\frac{{a\; - \;ib}}{{a^{2} \; + \;b^{2} }}\;e^{ax} \;\left( {\cos \;bx\; + \;i\;\sin \;bx} \right) \\
= \;\frac{1}{{a^{2} \; + \;b^{2} }}\;e^{ax} \;\left( {a\;\cos \;bx\; + \;b\;\sin \;bx\; + \;i\;\left( {a\;\sin \;bx\; - \;b\;\cos \;bx} \right)} \right) \\
\Rightarrow \;\int {e^{ax} \;\cos \;bx\;dx\; = \;} \frac{1}{{a^{2} \; + \;b^{2} }}\;e^{ax} \;\left( {a\;\cos \;bx\; + \;b\;\sin \;bx} \right) \\
\int {e^{ax} \;\sin \;bx\;dx\; = \;} \frac{1}{{a^{2} \; + \;b^{2} }}\;e^{ax} \;\left( {a\;\sin \;bx\; - \;b\;\cos \;bx} \right) \\
\end{array}[/mm]
Das habe ich allgemein gehalten. Auf diese Aufgabe hier übertragen ist a = -a und b = 1.
Dann habe ich die partielle Integration auf [mm]\int {x\;e^{ - ax} \;\sin \;x} \;dx[/mm] und [mm]\int {x\;e^{ - ax} \;\cos \;x} \;dx[/mm] angewendet.
Gruß
MathePower
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