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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Di 14.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Ich hab hier folgende Aufgabe vorliegen, die wir mit Hilfe anderer Literatur lösen sollen, da wir diese Woche keine Vorlesungen haben...
Sei [mm] \mu [/mm] < 0 Wir sollen nun Lösungen [mm] f:\IR^n \to \IR [/mm] f [mm] \not=0
[/mm]
der Gleichung [mm] \Delta [/mm] f= c f bestimmen !
Das ist ja eine Differentialgleichung mit dem Laplace Opererator, aber ich hab jetzt schon in vielen Büchern gesucht, hab aber irgendwie keinen Schimmer.... wie man da anfängt !
Klar weiß ich dass [mm] \Delta [/mm] f= [mm] \bruch{\partial^2 f}{ \partial x_1^2}+...+\bruch{\partial^2 f}{ \partial x_n^2}
[/mm]
und
[mm] \Delta [/mm] f=div(grad f) aber das bringt mir irgendwie nichts...
Und weil ich keine Ahnung von der Aufgabe hab, dachte ich, vielleicht hat jemand von euch ein gutes Skript (Internet Literatur) dazu ?
Oder einen kurzen Ansatz wie man sowas anfängt !
Tut mir leid, dass ich keine direkten Ansätze hab, aber ich möchte wirklich auch nur nen kleinen Ansatz (damit ich nicht ganz im Regen stehe)
Gruß
Faenôl
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Hallo!
Versuch dir eine Idee zu holen beim eindimensionalen Fall: $x''=cx$...
Kommst du damit ein bisschen weiter? Sonst gebe ich dir gerne noch einen Tipp...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 Di 14.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Ja, o,k, mit dem eindimensioalen ist ein guter Tipp !
Da hat man ja dann f''(x)+0*f'(x)- [mm] \mu*f(x)=0
[/mm]
bzw. die charakeristische Gleichung [mm] m^2= \mu
[/mm]
m= [mm] \pm \wurzel{\mu} [/mm] , Da [mm] \mu [/mm] < 0 sind die Lösung also komplex:
[mm] m=0-\mu*i [/mm] bzw. [mm] m=0+\mu*i [/mm]
Demnach wäre [mm] f(x)=C_1*cos(\mu*x)+C_2*sin(\mu*x)
[/mm]
Wäre das erstmal so richtig ? Hab natürlich am Anfang [mm] f(x)=C*e^{mx} [/mm] gesetzt.
Aber selbst wenn dies nun richtig wäre ... wie übertrage ich das dann auf [mm] \IR^n [/mm] (beispielsweise n=2)? Die Funktion wird ja auf [mm] \IR [/mm] abbilden müssen:
Setze ich dann [mm] f(x,y)=C*e^{m(x,y)} [/mm] .. oder wie ?
Faenôl
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Hallo Faenol,
> Setze ich dann [mm]f(x,y)=C*e^{m(x,y)}[/mm] .. oder wie ?
Da setzt Du dann so an:
[mm]f\left( {x_{1} ,\; \cdots \;,\;x_{n} } \right)\; = \;\prod\limits_{i = 1}^{n} {g_{i} \left( {x_{i} } \right)}[/mm]
Setzt Du diesen Ansatz in die DGL ein, so erhältst Du dann (nach ein bischen Umformen):
[mm]\sum\limits_{i = 1}^{n} {\frac{{g_{i} ''}}
{{g_{i} }}\; = \;c} [/mm]
Da die [mm]g_{i}[/mm] nur von der Variablen [mm]x_{i}[/mm] abhängen. kann der Quotient auch nur von [mm]x_{i}[/mm] abhängen. Dann ergibt sich folgendes:
[mm]\sum\limits_{i = 1}^{n} {c_{i} \left( {x_{i} } \right)} \; = \;c[/mm]
Nun da die Summe von linearen Funktionen verschiedener Variablen niemals eine Konstante ergeben kann, müssen die [mm]{c_i \left( {x_i } \right)}[/mm] selbst Konstante sein. Somit entsteht für jedes i eine DGL der Gestalt:
[mm]\frac{{g_{i} ''}}
{{g_{i} }}\; = \;c_{i}[/mm]
Diese DGL läßt sich nun einfach lösen. Hat man alle Lösungen so wird die Funktion entsprechend dem Ansatz wieder zusammengesetzt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Do 16.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Aha, das ist ja wirklich interessant !
Wobei ich mich ehrlich gesagt frage, wie man sowas in Literatur usw selbstständig finden soll. Finde ich schon hart !
Aber kommen wir zu meiner Frage, bzw. ich möchte meine Lösung verifiziert haben. *g*
Hab die Schritte alle verstanden und
jetzt muss ich ja z.B. die DGL: [mm] g_1^{''}-c_1*g_1=0 [/mm] lösen.
Das habe ich ja schon im letzten Post gemacht und hatte
[mm] K_1*cos(c*x)+K_2*sin(c*x) [/mm] raus:
demnach müßte doch nun
[mm] g_1(x_1)=K_1*cos(c_1*x_1)+K_2*sin(c_1*x_1) [/mm] die allgemeine reelle Lösung sein oder ?
Also
[mm] f(x_1,...,x_n)= \produkt_{i=1}^{n}K_{1i}*cos(c_i*x_i)+K_{2i}*sin(c_i*x_i)
[/mm]
Jetzt frag ich mich noch folgendes:
Ist c eigentlich eine Zahl ? *weiß ich gar net genau* !
Wenn ja, dann müßte ja [mm] c_1=c_2..... [/mm] gelten !
Und dann wären die [mm] K_1 [/mm] und [mm] K_2 [/mm] ja eigentlich auch eindeutig oder ? (also hängen nicht vom i ab).
Oder wie sieht das hier mit dem K aus ?
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Hallo Faenol,
> Aber kommen wir zu meiner Frage, bzw. ich möchte meine
> Lösung verifiziert haben. *g*
> Hab die Schritte alle verstanden und
>
> jetzt muss ich ja z.B. die DGL: [mm]g_1^{''}-c_1*g_1=0[/mm] lösen.
>
> Das habe ich ja schon im letzten Post gemacht und hatte
> [mm]K_1*cos(c*x)+K_2*sin(c*x)[/mm] raus:
> demnach müßte doch nun
> [mm]g_1(x_1)=K_1*cos(c_1*x_1)+K_2*sin(c_1*x_1)[/mm] die allgemeine
> reelle Lösung sein oder ?
Ja. Die Lösung läßt sich noch etwas anders schreiben.
Nehme hier die Exponentialdarstellung (Euler), hier mußt Du eigentlich nur beachten, daß sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil eine Lösung der DGL darstellen.
>
> Also
>
> [mm]f(x_1,...,x_n)= \produkt_{i=1}^{n}K_{1i}*cos(c_i*x_i)+K_{2i}*sin(c_i*x_i)[/mm]
>
> Jetzt frag ich mich noch folgendes:
>
> Ist c eigentlich eine Zahl ? *weiß ich gar net genau* !
>
c ist eine Zahl, wie in der Aufgabenstellung angegeben.
> Wenn ja, dann müßte ja [mm]c_1=c_2.....[/mm] gelten !
> Und dann wären die [mm]K_1[/mm] und [mm]K_2[/mm] ja eigentlich auch
> eindeutig oder ? (also hängen nicht vom i ab).
Nein, die [mm]c_{i}[/mm] haben nichts mit den [mm]K_{i}[/mm] zu tun.
Die [mm]c_{i}[/mm] sind nur dazu da um die DGL zu erfüllen.
Während die [mm]K_{i}[/mm] Vielfache der Lösungsfunktionen sind.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Fr 17.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi MathePower !
Mal wieder ein großes Danke schön ! *brav bedank für deine Hilfe*
Gruß
Faenôl
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