Differentialgleichung 1.Ordn. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:14 Mo 11.06.2012 | | Autor: | ggT |
| Aufgabe | Folgende Differentialgleichung ist gegeben:
$ y' = [mm] \bruch{3}{4}\wurzel{|x|}y^{3} [/mm] $
(a) Wie lautet die Lösungsgesamtheit der Differentialgleichung?
(b) Bestimme alle Lösungen der Anfangsbedigungen $y(0) = 0$ und $y(0) = -1$, jeweils mit maximalem Definitionsbereich. |
Hallo,
ich war die letzten Wochen schon mit einigen Differentialgleichungen beschäftigt, die ich nun soweit verstanden haben müsste.
Hätte jetzt hierzu mehrere Fragen:
1) Ist das ganze mit Trennung der Variablen lösbar oder muss ich [mm] $y^{3}$ [/mm] evtl. substituieren?
2) Habe vorher in den Differentialgleichungen weder einen Betrag noch einen Exponenten bei $y$ gehabt, der größer als 2 ist. Muss ich da irgendwie anders verfahren?
Etwas Hilfe beim Ansatz oder etwas mehr wäre sehr gut. :)
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Abend,
Die Frage bei der Variante der "Trennung der Variablen" ist ja nur:
Kann man alles y-behaftete auf eine Seite bringen und alles x-behaftete auf die andere Seite des Gleichheitszeichen?
Bei der vorgegebenen DGL ist das in der Tat möglich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:06 Mo 11.06.2012 | | Autor: | ggT |
Ok, dann versuche ich das mal:
$ [mm] \bruch{dx}{dy} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} \wurzel{|x|}y^{3} [/mm] $
Jetzt die Variablen trennen:
$ [mm] \Rightarrow \bruch{4}{3} |x|^{-\bruch{1}{2}}dx [/mm] = [mm] y^{3}dy [/mm] $
Beide Seiten nun integrieren:
$ [mm] \Rightarrow \bruch{4}{3}*\integral_{}^{}{|x|^{-\bruch{1}{2}}dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{y^{3}dy} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow \bruch{4}{3}*2*\wurzel{|x|} [/mm] + C = [mm] \bruch{1}{4}y^{4}dy [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow 10\bruch{2}{3}*\wurzel{|x|} [/mm] + C = [mm] y^{4} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] y = [mm] (10\bruch{2}{3}*\wurzel{|x|} [/mm] + [mm] C)^{\bruch{1}{4}} [/mm] $
Hm, das wäre meine Lösung zur (a), aber hab da sicher einiges falsch gemacht, oder?
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> Ok, dann versuche ich das mal:
>
> [mm]\bruch{dx}{dy} = \bruch{3}{4} \wurzel{|x|}y^{3}[/mm]
>
> Jetzt die Variablen trennen:
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{4}{3} |x|^{-\bruch{1}{2}}dx = y^{3}dy[/mm]
>
> Hm, das wäre meine Lösung zur (a), aber hab da sicher
> einiges falsch gemacht, oder?
Leider ja, denn es ist doch [mm] y'=\bruch{dy}{dx}
[/mm]
Damit ergibt sich dann:
[mm] \bruch{dy}{y^{3} } [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} \wurzel{|x|}dx
[/mm]
Damit kannst du jetzt weiterrechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:49 Mo 11.06.2012 | | Autor: | ggT |
Oh nein, da hatte ich mal wieder einen Dreher drin. :)
Also nochmal von vorn:
$ [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} \wurzel{|x|}y^{3} [/mm] $
Trennung der Variablen:
$ [mm] \Rightarrow \bruch{dy}{y^{3}}= \bruch{3}{4} \wurzel{|x|} [/mm] dx $
$ [mm] \Rightarrow y^{-3}dy= \bruch{3}{4} \wurzel{|x|} [/mm] dx $
Integration beider Seiten:
$ [mm] \Rightarrow \integral_{}^{}{y^{-3}dy} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} \integral_{}^{}{ \wurzel{|x|} dx } [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow -\bruch{1}{2}y^{-2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}*\bruch{2}{3}*\wurzel{|x|} [/mm] + C $
$ [mm] \Rightarrow y^{-2} [/mm] = [mm] -\wurzel{|x|} [/mm] - 2C $
$ [mm] \Rightarrow y^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{-\wurzel{|x|} - 2C} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] y = [mm] \wurzel{\bruch{1}{-\wurzel{|x|} - 2C}} [/mm] $
Hoffe diesmal komme ich ein Stück weiter bis zum ersten Fehler.
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Guten Morgen,
> Trennung der Variablen:
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{dy}{y^{3}}= \bruch{3}{4} \wurzel{|x|} dx[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y^{-3}dy= \bruch{3}{4} \wurzel{|x|} dx[/mm]
>
> Integration beider Seiten:
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{}^{}{y^{-3}dy} = \bruch{3}{4} \integral_{}^{}{ \wurzel{|x|} dx }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow -\bruch{1}{2}y^{-2} = \bruch{3}{4}*\bruch{2}{3}*\wurzel{|x|} + C[/mm]
Hier ist doch was faul. Die linke Seite ist korrekt, aber bei der rechten? Ich selber finde schon, dass das Integral aus der Wurzel eines Betrag, ein ziemlich störrisches Teil ist.
Tipp: Schreibe [mm] \wurzel{|x|} [/mm] als: [mm] \wurzel{\wurzel{x^2}}=\wurzel[4]{x^2}
[/mm]
Damit berechne das Integral mittels Substitution von [mm] u=\wurzel{x}
[/mm]
Dies sollte zum Ziel führen.
>
> [mm]\Rightarrow y^{-2} = -\wurzel{|x|} - 2C[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y^{2} = \bruch{1}{-\wurzel{|x|} - 2C}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y = \wurzel{\bruch{1}{-\wurzel{|x|} - 2C}}[/mm]
Allein hier sollte man dann durch Aufgabe b erkennen, dass es nicht sein kann. Setzt man y(0)=0 ein, so erhält man einen Widerspruch.
>
> Hoffe diesmal komme ich ein Stück weiter bis zum ersten
> Fehler.
Das bist du auch. Der Fehler lag im Integral, ansonsten gibt es ja nichts zu meckern.
Viel Erfolg beim weiterrechnen. Ich denke, das Integral ist nun keine Hürde und das weitere Umstellen ebenso nicht.
Kannst ja gern dein Ergebnis dann hier veröffentlichen, damit man drüberschauen kann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Mo 11.06.2012 | | Autor: | ggT |
$ [mm] \dfrac{dy}{dx} [/mm] = [mm] \dfrac{3}{4} \sqrt{|x|}y^{3} $\\
[/mm]
Trennung der [mm] Variablen:\\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow \dfrac{dy}{y^{3}}= \dfrac{3}{4} \sqrt{|x|} [/mm] dx [mm] $\\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow y^{-3}dy= \dfrac{3}{4} \sqrt{|x|} [/mm] dx [mm] $\\
[/mm]
Integration beider [mm] Seiten:\\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow \int_{}^{}{y^{-3}dy} [/mm] = [mm] \dfrac{3}{4} \int_{}^{}{ \sqrt{|x|} dx } $\\
[/mm]
So habs erst mit Fallunterscheidung versucht, kam da aber nicht wirklich weiter, hatte für $x [mm] \geq [/mm] 0$ dasselbe raus, wie bei meiner Rechnung davor und für $x < 0$ nur ein minus zusätzlich drin.
Daher versuch ichs jetzt mal lieber mit Substitution: [mm] \\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow \int_{}^{}{y^{-3}dy} [/mm] = [mm] \dfrac{3}{4} \int_{}^{}{ \sqrt[4]{x^{2}} dx } $\\
[/mm]
Substitution von $ u = [mm] \sqrt{x} [/mm] $ führt [mm] zu:\\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow \int_{}^{}{y^{-3}dy} [/mm] = [mm] \dfrac{3}{4} \int_{}^{}{u \; du} $\\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow -\dfrac{1}{2}y^{-2} [/mm] = [mm] \dfrac{3}{4}*\dfrac{1}{2}u^{2} [/mm] + C [mm] $\\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow \dfrac{1}{y^{2}} [/mm] = [mm] -\dfrac{3}{4}*u^{2}+C $\\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow y^{2} [/mm] = [mm] \dfrac{1}{-\dfrac{3}{4}u^{2}+C} $\\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow [/mm] y = [mm] \sqrt{\dfrac{1}{-\frac{3}{4}u^{2}+C}} $\\
[/mm]
Rücksubstitution: [mm] \\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow [/mm] y = [mm] \sqrt{\dfrac{1}{-\frac{3}{4}x+C}} $\\
[/mm]
Wie siehts jetzt hiermit aus?
P.S.: Ich will jetzt erstmal durch Substitution zur Lösung kommen, an der Lösung mit Fallunterscheidung wäre ich allerdings zusätzlich immernoch interessiert.
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Hallo,
Ich betrachte nur einmal das Integral [mm] \integral\wurzel[4]{x^2}dx
[/mm]
[mm] u=\wurzel{x}
[/mm]
[mm] du=\bruch{1}{2\wurzel{x}}dx
[/mm]
[mm] dx=2\wurzel{x}du
[/mm]
Das ergibt:
[mm] \integral\wurzel[4]{x^2}dx=\integral\wurzel[4]{x^2}*2\wurzel{x}du=2\integral\underbrace{\wurzel[4]{x^2}*\wurzel{x}}_{=x}du=2\integral{u^2}du=2*\bruch{u^3}{3}
[/mm]
Rücksubstitution ergibt:
[mm] \integral\wurzel[4]{x^2}dx=\bruch{2}{3}*\wurzel{x^3}=\bruch{2}{3}*x\wurzel[4]{x^2}=\bruch{2}{3}*x\wurzel{|x|}
[/mm]
Ich würde mich freuen, wenn erfahrene Leser auch hier noch einmal drüberschauen.
Mit Freds Ansatz kommt man, wie sooft bei Freds Antworten, deutlich schneller ans Ziel.
Er unterscheidet ganz einfach ob x>0 oder x<0.
Für x>0 ergibt sich ganz einfach das INtegral ohne Betragsstriche:
[mm] \integral\wurzel{x}=...
[/mm]
Für x<0 ergibt sich |x|=-x, damit ist
[mm] \integral\wurzel{-x}=\bruch{2}{3}(-x)^\bruch{3}{2}=\bruch{2}{3}*x\wurzel{|x|}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Mo 11.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> Ich betrachte nur einmal das Integral
> [mm]\integral\wurzel[4]{x^2}dx[/mm]
> [mm]u=\wurzel{x}[/mm]
Wozu diese Klimmzüge ? Wenn [mm]u=\wurzel{x}[/mm], so kann doch wieder nur x [mm] \ge [/mm] 0 sein.
FRED
> [mm]du=\bruch{1}{2\wurzel{x}}dx[/mm]
> [mm]dx=2\wurzel{x}du[/mm]
>
> Das ergibt:
>
> [mm]\integral\wurzel[4]{x^2}dx=\integral\wurzel[4]{x^2}*2\wurzel{x}du=2\integral\underbrace{\wurzel[4]{x^2}*\wurzel{x}}_{=x}du=2\integral{u^2}du=2*\bruch{u^3}{3}[/mm]
>
> Rücksubstitution ergibt:
>
> [mm]\integral\wurzel[4]{x^2}dx=\bruch{2}{3}*\wurzel{x^3}=\bruch{2}{3}*x\wurzel[4]{x^2}=\bruch{2}{3}*x\wurzel{|x|}[/mm]
>
> Ich würde mich freuen, wenn erfahrene Leser auch hier noch
> einmal drüberschauen.
>
> Mit Freds Ansatz kommt man, wie sooft bei Freds Antworten,
> deutlich schneller ans Ziel.
>
> Er unterscheidet ganz einfach ob x>0 oder x<0.
> Für x>0 ergibt sich ganz einfach das INtegral ohne
> Betragsstriche:
> [mm]\integral\wurzel{x}=...[/mm]
>
> Für x<0 ergibt sich |x|=-x, damit ist
>
> [mm]\integral\wurzel{-x}=\bruch{2}{3}(-x)^\bruch{3}{2}=\bruch{2}{3}*x\wurzel{|x|}[/mm]
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Mo 11.06.2012 | | Autor: | Richie1401 |
> > Hallo,
> >
> > Ich betrachte nur einmal das Integral
> > [mm]\integral\wurzel[4]{x^2}dx[/mm]
> > [mm]u=\wurzel{x}[/mm]
>
> Wozu diese Klimmzüge ? Wenn [mm]u=\wurzel{x}[/mm], so kann doch
> wieder nur x [mm]\ge[/mm] 0 sein.
>
> FRED
>
>
Dem habe ich nichts hinzuzufügen. Das blieb von mir unbemerkt. Danke für das D'rüberschauen, Fred.
Die Stammfunktion sollte dennoch korrekt sein, ja? Kannst Du das verifizieren?
An den Fragesteller ggt: Beachte also möglichst nur die korrekte Variante von Fred!
>
> > [mm]du=\bruch{1}{2\wurzel{x}}dx[/mm]
> > [mm]dx=2\wurzel{x}du[/mm]
> >
> > Das ergibt:
> >
> >
> [mm]\integral\wurzel[4]{x^2}dx=\integral\wurzel[4]{x^2}*2\wurzel{x}du=2\integral\underbrace{\wurzel[4]{x^2}*\wurzel{x}}_{=x}du=2\integral{u^2}du=2*\bruch{u^3}{3}[/mm]
> >
> > Rücksubstitution ergibt:
> >
> >
> [mm]\integral\wurzel[4]{x^2}dx=\bruch{2}{3}*\wurzel{x^3}=\bruch{2}{3}*x\wurzel[4]{x^2}=\bruch{2}{3}*x\wurzel{|x|}[/mm]
> >
> > Ich würde mich freuen, wenn erfahrene Leser auch hier noch
> > einmal drüberschauen.
> >
> > Mit Freds Ansatz kommt man, wie sooft bei Freds Antworten,
> > deutlich schneller ans Ziel.
> >
> > Er unterscheidet ganz einfach ob x>0 oder x<0.
> > Für x>0 ergibt sich ganz einfach das INtegral ohne
> > Betragsstriche:
> > [mm]\integral\wurzel{x}=...[/mm]
> >
> > Für x<0 ergibt sich |x|=-x, damit ist
> >
> >
> [mm]\integral\wurzel{-x}=\bruch{2}{3}(-x)^\bruch{3}{2}=\bruch{2}{3}*x\wurzel{|x|}[/mm]
> >
>
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Mo 11.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ok, dann versuche ich das mal:
>
> [mm]\bruch{dx}{dy} = \bruch{3}{4} \wurzel{|x|}y^{3}[/mm]
>
> Jetzt die Variablen trennen:
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{4}{3} |x|^{-\bruch{1}{2}}dx = y^{3}dy[/mm]
>
> Beide Seiten nun integrieren:
>
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{4}{3}*\integral_{}^{}{|x|^{-\bruch{1}{2}}dx} = \integral_{}^{}{y^{3}dy}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{4}{3}*2*\wurzel{|x|} + C = \bruch{1}{4}y^{4}dy[/mm]
Donnerwetter ! Völlig skrupellos integrierst Du über die Beträge weg.
Eine Fallunterscheidung wäre angebracht !
Für x<0 ist [mm] w(x):=\wurzel{|x|}=\wurzel{-x}
[/mm]
Wenn man das differenziert, bekommt man
$w'(x)=- [mm] \bruch{1}{2* \wurzel{-x}}=- \bruch{1}{2* \wurzel{|x|}}$
[/mm]
FRED
>
> [mm]\Rightarrow 10\bruch{2}{3}*\wurzel{|x|} + C = y^{4}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y = (10\bruch{2}{3}*\wurzel{|x|} + C)^{\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> Hm, das wäre meine Lösung zur (a), aber hab da sicher
> einiges falsch gemacht, oder?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mo 11.06.2012 | | Autor: | ggT |
$ [mm] \dfrac{dy}{dx} [/mm] = [mm] \dfrac{3}{4} \sqrt{|x|}y^{3} $\\
[/mm]
Trennung der Variablen: [mm] \\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow \dfrac{dy}{y^{3}}= \dfrac{3}{4} \sqrt{|x|} [/mm] dx [mm] $\\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow y^{-3}dy= \dfrac{3}{4} \sqrt{|x|} [/mm] dx [mm] $\\
[/mm]
Integration beider Seiten: [mm] \\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow \int_{}^{}{y^{-3}dy} [/mm] = [mm] \dfrac{3}{4} \int_{}^{}{ \sqrt{|x|} dx } $\\
[/mm]
Ok, dann versuch ich jetzt mal die Fallunterscheidung, bin bei diesen Dingen aber noch nicht allzu sicher, auch wenn ich damals in Analysis sicherlich schon einfache durchführen musste, die auch geklappt haben: [mm] \\
[/mm]
Für $x < 0$: [mm] \\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow \int_{}^{}{y^{-3}dy} [/mm] = [mm] \dfrac{3}{4} \int_{}^{}{ \sqrt{-x} dx } $\\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow -\dfrac{1}{2}y^{-2} [/mm] = [mm] \dfrac{3}{4}*\dfrac{2}{3}(-x)^{\frac{3}{2}} [/mm] + C = [mm] \dfrac{1}{2}x*\sqrt{|x|} [/mm] + [mm] C$\\
[/mm]
Für $x [mm] \geq [/mm] 0$: [mm] \\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow \int_{}^{}{y^{-3}dy} [/mm] = [mm] \dfrac{3}{4} \int_{}^{}{ \sqrt{x} dx } $\\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow -\dfrac{1}{2}y^{-2} [/mm] = [mm] \dfrac{3}{4}*\dfrac{2}{3}(x)^{\frac{3}{2}} [/mm] + C = [mm] \dfrac{1}{2}x*\sqrt{|x|} [/mm] + C [mm] $\\
[/mm]
Beide Varianten sind identisch, daher kann nur weitergerechnet werden, mit: [mm] \\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow -\dfrac{1}{2}y^{-2} [/mm] = [mm] \dfrac{1}{2}x*\sqrt{|x|} [/mm] + C [mm] $\\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow y^{-2} [/mm] = [mm] -x*\sqrt{|x|} [/mm] + C [mm] $\\
[/mm]
$ [mm] \Rightarrow y^{2} [/mm] = [mm] \dfrac{1}{-x\sqrt{|x|}+C} [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] y = [mm] \sqrt{\dfrac{1}{-x\sqrt{|x|}+C}} $\\
[/mm]
Ich glaub zwar nicht dran, dass ich heute noch zu einem richtigen Ergebnis komme, aber ich versuchs mal weiter. :)
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Ich hänge mich mal in Freds Strang.
Die Lösung sieht nicht übel aus.
Hast du dich bei der Aufgabenstellung b) vertan? Denn wie ich schon sagte: y(0)=0 führt auf einen Widerspruch
Beachte: Wenn du die Wurzel von [mm] y^2 [/mm] ziehst, dann erhältst du zunächst zwei Lösungen. Also [mm] \pm\sqrt{\dfrac{1}{-x\sqrt{|x|}+C}}
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mo 11.06.2012 | | Autor: | ggT |
Ah, richtig +- hab ich vergessen.
Aber nein bei Aufgabenteil (b) habe ich mich nicht vertan.
Hm, weiß nicht.
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Ich möchte nur noch einmal sagen, dass ich nicht 100%ig der Lösung zustimme. Ich habe das Gefühl, dass i-wo noch der Hase im Pfeffer liegt. Aber ich bin mir selbst nicht ganz sicher.
Sicherheit bringt nur der Test: Ableiten und in die DGL einsetzen. Stimmt es auf beiden Seiten, dann weiß man, dass man richtig liegt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 Di 12.06.2012 | | Autor: | ggT |
Vielen Dank schonmal bis hierhin. Auch wenn ich wohl noch etwas bis zum Ende der Aufgabe brauche.
Wäre cool, wenn sich noch wer das mit der Fallunterscheidung angucken könnte.
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Hallo ggT,
> [mm]\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3}{4} \sqrt{|x|}y^{3}[/mm][mm] \\[/mm]
>
> Trennung der Variablen: [mm]\\[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \dfrac{dy}{y^{3}}= \dfrac{3}{4} \sqrt{|x|} dx[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y^{-3}dy= \dfrac{3}{4} \sqrt{|x|} dx[/mm][mm] \\[/mm]
>
> Integration beider Seiten: [mm]\\[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \int_{}^{}{y^{-3}dy} = \dfrac{3}{4} \int_{}^{}{ \sqrt{|x|} dx }[/mm][mm] \\[/mm]
>
> Ok, dann versuch ich jetzt mal die Fallunterscheidung, bin
> bei diesen Dingen aber noch nicht allzu sicher, auch wenn
> ich damals in Analysis sicherlich schon einfache
> durchführen musste, die auch geklappt haben: [mm]\\[/mm]
>
> Für [mm]x < 0[/mm]: [mm]\\[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \int_{}^{}{y^{-3}dy} = \dfrac{3}{4} \int_{}^{}{ \sqrt{-x} dx }[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow -\dfrac{1}{2}y^{-2} = \dfrac{3}{4}*\dfrac{2}{3}(-x)^{\frac{3}{2}} + C = \dfrac{1}{2}x*\sqrt{|x|} + C[/mm][mm] \\[/mm]
>
Hier fehlt ein Vorzeichen:
[mm]\Rightarrow -\dfrac{1}{2}y^{-2} = \dfrac{3}{4}*\dfrac{\blue{-}2}{3}(-x)^{\frac{3}{2}} + C = \blue{-}\dfrac{1}{2}x*\sqrt{|x|} + C[/mm]
> Für [mm]x \geq 0[/mm]: [mm]\\[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \int_{}^{}{y^{-3}dy} = \dfrac{3}{4} \int_{}^{}{ \sqrt{x} dx }[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow -\dfrac{1}{2}y^{-2} = \dfrac{3}{4}*\dfrac{2}{3}(x)^{\frac{3}{2}} + C = \dfrac{1}{2}x*\sqrt{|x|} + C[/mm][mm] \\[/mm]
>
> Beide Varianten sind identisch, daher kann nur
> weitergerechnet werden, mit: [mm]\\[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow -\dfrac{1}{2}y^{-2} = \dfrac{1}{2}x*\sqrt{|x|} + C[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y^{-2} = -x*\sqrt{|x|} + C[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y^{2} = \dfrac{1}{-x\sqrt{|x|}+C}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y = \sqrt{\dfrac{1}{-x\sqrt{|x|}+C}}[/mm][mm] \\[/mm]
>
> Ich glaub zwar nicht dran, dass ich heute noch zu einem
> richtigen Ergebnis komme, aber ich versuchs mal weiter. :)
Gruss
MathePower
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