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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Differentialgleichung 2
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Differentialgleichung 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 05:59 Mi 18.02.2009
Autor: meep

Aufgabe
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL

y' = 2y + [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{2x} [/mm]

hallo miteinander,

hier mal mein Lösungsansatz der wahrscheinlich grottenfalsch ist aber leider fällt mir nix anderes dazu ein.

dy/dx = 2y + [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{2x} [/mm]

dy = 2y dx + [mm] (x^2 [/mm] * [mm] e^{2x}) [/mm] dx

y = 2yx + [mm] \integral {(x^2 * e^{2x}) dx} [/mm]

y ( 1 - 2x ) = [mm] \integral {(x^2 * e^{2x}) dx} [/mm]

y = [mm] \bruch{\integral {(x^2 * e^{2x}) dx}}{1 - 2x} [/mm]

das Integral kann man ja noch per Produktintegration lösen, aber da meine Lösung höchstwahrscheinlich falsch ist, hab ich mir das gespart.

wäre nett wenn jemand mir ne idee geben könnte wie ich an die DGL herangehen soll, da ich fast am verzweifeln bin.

mfg

meep

        
Bezug
Differentialgleichung 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:48 Mi 18.02.2009
Autor: abakus


> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL
>  
> y' = 2y + [mm]x^2[/mm] * [mm]e^{2x}[/mm]
>  hallo miteinander,
>  
> hier mal mein Lösungsansatz der wahrscheinlich
> grottenfalsch ist aber leider fällt mir nix anderes dazu
> ein.
>  
> dy/dx = 2y + [mm]x^2[/mm] * [mm]e^{2x}[/mm]
>  
> dy = 2y dx + [mm](x^2[/mm] * [mm]e^{2x})[/mm] dx
>  
> y = 2yx + [mm]\integral {(x^2 * e^{2x}) dx}[/mm]

Dieser Schritt war Unfug. [mm] \integral_{}^{}{2y dx} [/mm] ergibt nicht 2yx.
Setze [mm] y=(ax^3+bx^2+cx+d)e{2x} [/mm] an, bilde y' und berechne y'-2y.
Die Koffizienten a, b, c, d müssen so gewählt werden, dass die Differenz gerade [mm] x^2e^{2x} [/mm] ergibt.
Gruß Abakus

>  
> y ( 1 - 2x ) = [mm]\integral {(x^2 * e^{2x}) dx}[/mm]
>  
> y = [mm]\bruch{\integral {(x^2 * e^{2x}) dx}}{1 - 2x}[/mm]
>  
> das Integral kann man ja noch per Produktintegration lösen,
> aber da meine Lösung höchstwahrscheinlich falsch ist, hab
> ich mir das gespart.
>  
> wäre nett wenn jemand mir ne idee geben könnte wie ich an
> die DGL herangehen soll, da ich fast am verzweifeln bin.
>  
> mfg
>  
> meep


Bezug
                
Bezug
Differentialgleichung 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:43 Mi 18.02.2009
Autor: meep

hi abakus,

danke fürs helfen aber woher weiß ich welchen grad das allgemeine polynom haben muss ?

es hätte ja auch ein polynom 2ten oder 8ten grades sein können.

irgendwie versteh ich das nicht so ganz.

mfg

meep

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Bezug
Differentialgleichung 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 Mi 18.02.2009
Autor: fred97

Die Gleichung


y' = 2y + $ [mm] x^2 [/mm] $ * $ [mm] e^{2x} [/mm] $

ist eine inhomogene lineare DGL 1. Ordnung.

Habt Ihr dafür kein "Kochrezept" gehabt ?


1. bestimme die allg. Lösung der homogenen Gl. y' = 2y


2. bestimme mit Variation der Konst. eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung.

........................



FRED

Bezug
                                
Bezug
Differentialgleichung 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:01 Mi 18.02.2009
Autor: meep

hi fred,

das mit der variation der konstanten hab ich nicht ganz verstanden im skript.

also nach schritt 1 wäre das dann

dy/dx = 2y [mm] \gdw \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral \bruch{1}{y} [/mm] dy = [mm] \integral [/mm] 1 dx

ln y = 2x [mm] \gdw [/mm] y = [mm] e^{2x} [/mm]

stimmt das soweit ?


Bezug
                                        
Bezug
Differentialgleichung 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:05 Mi 18.02.2009
Autor: fred97


> hi fred,
>  
> das mit der variation der konstanten hab ich nicht ganz
> verstanden im skript.


Dann schaus Dir nochmal an


>  
> also nach schritt 1 wäre das dann
>  
> dy/dx = 2y [mm]\gdw \bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\integral \bruch{1}{y}[/mm] dy =
> [mm]\integral[/mm] 1 dx
>  
> ln y = 2x [mm]\gdw[/mm] y = [mm]e^{2x}[/mm]
>  
> stimmt das soweit ?


Ja


Die allg. Lösung der homogenen Gl. ist dann:

y = [mm]c e^{2x}[/mm]     (c [mm] \in \IR) [/mm]



FRED


>  


Bezug
                                                
Bezug
Differentialgleichung 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:28 Mi 18.02.2009
Autor: meep

ja gut, dann kann ich ja nun mein y = [mm] c*e^{2x} [/mm] einfach einsetzen in y' = 2y + [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{2x} [/mm]

und das dann per integration lösen

also [mm] \integral [/mm] 1 dy = [mm] \integral [2ce^{2x} [/mm] + [mm] x^2*e^{2x}] [/mm] dx

dann hab ich ja

y = [mm] ce^{2x} [/mm] + [mm] x^2 [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} e^{2x} [/mm] - 2 * [mm] \integral x*e^x [/mm]

y = [mm] ce^{2x} [/mm] + [mm] x^2 [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} e^{2x} [/mm] - [mm] xe^{2x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] e^2x

stimmt das auch ?



Bezug
                                                        
Bezug
Differentialgleichung 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:30 Mi 18.02.2009
Autor: fred97

nein ! was machst Du da ??

Suche eine spezielle Lösung mit dem Ansatz "Variation der Konst."

FRED

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Differentialgleichung 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:32 Mi 18.02.2009
Autor: meep

ich schaus mir im skript nochmal an, wobei ich kaum glaube dass da noch was anständiges rauskommen wird :)

Bezug
                                                                        
Bezug
Differentialgleichung 2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 Mi 18.02.2009
Autor: meep

nochmal ein versuch:

also im skript steht

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y'(x) = f(x)y + g(x) kann auch in der Form  y(x) = (G(x)+c)* [mm] e^{F(x)} [/mm] geschrieben werden, wobei F bzw. G Stammfunktionen zu f bzw. [mm] g*e^{-F} [/mm] sind.

naja dann integrier ich einfach mal.

g = [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{2x} [/mm]

f(x) = 2

F(x) = 2x

dann ist G(x) = [mm] \integral x^2 [/mm] * [mm] e^{2x} [/mm] * [mm] e^{-2x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*x^3 [/mm]

dann komm ich auf y = ( [mm] \bruch{1}{3}*x^3 [/mm] + c ) * [mm] e^{2x} [/mm]

nun besser ?

Bezug
                                                                                
Bezug
Differentialgleichung 2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:11 Mi 18.02.2009
Autor: fred97

Jetzt stimmts

FRED

Bezug
                                                                                        
Bezug
Differentialgleichung 2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:12 Mi 18.02.2009
Autor: meep

halleluja,

vielen dank fred. war ne schwere geburt für mich !

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