Differentialgleichung F.pendel < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:49 Mo 03.08.2009 | | Autor: | Nickles |
| Aufgabe | Gegeben ist die Differentialgleichung eines schwingenden Federpendel
[mm] \ddot x(t) - 4 \dot x (t) + 13x(t) = 1+ e^{-t} [/mm]
Wobei x(t) die Auslenkung des Pendels zur Zeit [mm] t \ge 0 [/mm] ist.
a)Berechnen sie die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung |
Hi,
habe alles schön durchgerechnet mit Ansatz etc und bin dann zu diesem Ergebnis gelangt.
[mm] \lambda_{1,2} = \bruch{4 \pm \sqrt{16-52}}{2} = \bruch{4 \pm i \sqrt{52-16}}{2} = \bruch{4 \pm 6i}{2} \rightarrow \lambda_1 =2+3i \rightarrow \lambda_2 =2-3i [/mm] und damit [mm] y_1 = e^{(2+3i)t} y_2 = e^{(2-3i)t} [/mm] also [mm] y(x) = C_1 * y_1 + C_2 * y_2 = C_1 * e^{(2+3i)t} + C_2 * e^{(2-3i)t} [/mm]
In der Lösung wird aber [mm] y_1 (t) = e^{2t} \cos (3t) [/mm] und [mm]y_2 (t) = e^{2t} \sin (3t) [/mm] verwendet.
Wie werden hier denn bitte die imaginären Zahlen ersetzt?
Schönen Abend wünsche ich!
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Nickles,
> Gegeben ist die Differentialgleichung eines schwingenden
> Federpendel
> [mm]\ddot x(t) - 4 \dot x (t) + 13x(t) = 1+ e^{-t}[/mm]
> Wobei x(t)
> die Auslenkung des Pendels zur Zeit [mm]t \ge 0[/mm] ist.
>
> a)Berechnen sie die allgemeine Lösung der homogenen
> Gleichung
> Hi,
>
> habe alles schön durchgerechnet mit Ansatz etc und bin
> dann zu diesem Ergebnis gelangt.
> [mm]\lambda_{1,2} = \bruch{4 \pm \sqrt{16-52}}{2} = \bruch{4 \pm i \sqrt{52-16}}{2} = \bruch{4 \pm 6i}{2} \rightarrow \lambda_1 =2+3i \rightarrow \lambda_2 =2-3i[/mm]
> und damit [mm]y_1 = e^{(2+3i)t} y_2 = e^{(2-3i)t}[/mm] also [mm]y(x) = C_1 * y_1 + C_2 * y_2 = C_1 * e^{(2+3i)t} + C_2 * e^{(2-3i)t}[/mm]
>
> In der Lösung wird aber [mm]y_1 (t) = e^{2t} \cos (3t)[/mm] und [mm]y_2 (t) = e^{2t} \sin (3t)[/mm]
> verwendet.
> Wie werden hier denn bitte die imaginären Zahlen
> ersetzt?
Benutze [mm] $e^{it}=\cos(t)+i\cdot{}\sin(t)$, [/mm] weiter, dass der Kosinus eine gerade (und der Sinus eine ungerade) Funktion ist und forme alles schön um.
Für eine genaue Herleitung siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
Im unteren Drittel der Seite ist die Herleitung für die allg. reelle Lösung im Falle, dass die charakter. Gleichung 2 komplexe Lösungen hat.
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> Schönen Abend wünsche ich!
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Ebenso!
> Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite in
> keinem anderen Forum gestellt.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 Di 04.08.2009 | | Autor: | Nickles |
ok! Stichwort Eulersche Formel...hab ich verstanden , danke!
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