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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Differentialgleichung I Grades
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Differentialgleichung I Grades: Ich kapier das nicht
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:45 Sa 01.07.2006
Autor: MatheNoop

Aufgabe
Aufgabe 1.)
[mm] y'-xy=e^x², [/mm] y(0)=2

Aufgabe 2.)
[mm] y'-3xy=7e^x², [/mm] y(1)=3

Aufgabenstellung gilt für beide:
y'+f(x)y=g(x)
y(x0)=y0

Kann mir bitte jemand in einzelnen nachvollziebaren Schritten erklären wie ich diese gleichungen lösen soll.

vielen Dank im voraus

Ps  Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Differentialgleichung I Grades: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:31 Sa 01.07.2006
Autor: stevarino

Hallo

Das ist eigentlich ganz einfach die Differentialgleichungen haben die Form
y´+f(x)y=g(x)
wobei g(x) das Störglied ist  es hängt nur von x ab

jetzt löst man zunächst die homogen Diffgl.
y´+f(x)y=0 jetzt wendet man Trennung der Variablen an
y´=f(x)y
[mm] \bruch{y^{/}}{y}=f(x) [/mm] jetzt kannst du ja für y´ auch  [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] schreiben
[mm] \bruch{1}{y}* \bruch{dy}{dx}=f(x) [/mm] jetzt umformen
[mm] \bruch{1}{y} [/mm] dy=f(x) dx  integrieren
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{y} dy}= \integral_{}^{}{f(x) dx} [/mm]
[mm] ln(y)=\integral_{}^{}{f(x) dx} [/mm]
[mm] y=e^{\integral_{}^{}{f(x) dx}} *e^{K} [/mm]  K... Integrationskonstante
jetzt setzt man noch [mm] e^{K}=C [/mm]

und kommt auf die homogene Lösung [mm] y_{H}=e^{\integral_{}^{}{f(x) dx}}*C [/mm]

jetzt berechnet man die Partikuläre Lösung mit Variation der Konstanten
[mm] y=e^{\integral_{}^{}{f(x) dx}} [/mm] *C(x) die wird jetzt  einmal differenziert bei y´´ zweimal usw.
[mm] y^{/} =...*C(x)+e^{\integral_{}^{}{f(x) dx}}*C^{/}(x) [/mm] (Produktregel weil C von x abhängt )
das wird jetzt in die Angabe(jetzt mit Störglied) eingesetzt wenn man alles richtig gemacht hat fallen die Summanden mit C(x) weg und ma kann sich durch Integrieren  von C´(x) das C berechnen. Jetzt bist du schon fast fertig du mußt dir noch die  Anfangsbedingungen in C einsetzten
Die Lösung ist y= [mm] y_{H}+y_{Part} [/mm]

Ich hoffeich konnte dir weiterhelfen

lg Stevo

Bezug
        
Bezug
Differentialgleichung I Grades: Danke für die schnelle Antwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:05 Sa 01.07.2006
Autor: MatheNoop

Ich muss mir das gleich nochmal in Ruhe durchlesen, dann mal schauen ob ich das verstehe oder nicht ..



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