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| Aufgabe | Bestimmen sie das Profil f eines Spiegels, der die Eigenschaft besitzt parallel einfallendes Licht in einem Brennpunkt (0,p) zu bündeln.
Stellen sie dazu eine Diffentialgleichung für f auf.
Beachten sie dabei, dass der Einfallswinkel gleich dem Ausfallswinkel sein muss. Lösen sie nun die Differentialgleichung mit einem geeigneten Ansatz.
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Brauche die Aufgabe auch bis spätestens Samstag gelöst und komme nicht weiter.
Habe erst einmal eine schöne Skizze gmacht und durch ewiges suchen in büchern heraugefunden, dass es sich dabei um einen Parabolspiegel handeln muss (stimmt das?????) , was mir jedoch nicht weiter hilft.
Ich habe noch nie ein Beispiel gesehen, wie man solche Differetialgleichungen aufstellt.
Hoffe, ihr könnt mir helfen????
Mfg Steffi
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 So 26.10.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo Steffi,
Du hattest schon ganz recht, die Lösung ist ein Parabolspiegel, er konzentriert parallel einfallendes Licht in einem Punkt, dem Brennpunkt, in der Aufgabe P genannt.
Dun hast ja auch schon eine Zeichnung gemacht, sicherlich 2-dimensional. Damit wir uns besser verständigen können habe ich auch mal gezeichnet, Du findest das Ergebnis im Anhang. Es ist mit GeoGebra erstellt; falls Du dies auch benutzt kann ich Dir gerne die Ausgangsdatei zukommen lassen.
In meiner Skizze habe ich die Ergebnisfunktion f nur gestrichelt eingezeichnet, wir kennen Sie ja noch nicht, aber als Hilfslinie ist sie ganz brauchbar.
Der einfallende Lichtstrahl (auf gelber Gerade a) trifft in dem zentralen Punkt C, der die Koordinaten (x,y=f(x)) haben soll, die reflektierende Oberfläche (blaue Gerade b, als Tangente an die Spiegelfunktion) und wird nach "Einfallswinkel [mm] (\alpha) [/mm] = Ausfallswinkel [mm] (\beta)" [/mm] reflektiert (gelbe Gerade d). Die Senkrechte zu b ist die schwarze Gerade c.
Eine Differentialgleichung hat lebt von Ableitungen, die wiederum etwas mit der Steigung der Funktion in diesem Punkt zu tun hat und die Steigung ist der Tangens des Winkel der Tangente an die Kurve mit der x-Achse.
Kümmern wir uns also um Winkel.
Die Steigung der reflektierenden Oberfläche in C ist f'(x) und das ist = [mm] tan(\gamma). [/mm] Der Winkel [mm] \gamma [/mm] ist aufgrund geometrischer Überlegungen (bitte nachvollziehen) gleich [mm] \alpha [/mm] und das wiederum laut Aufgabenstellung gleich [mm] \beta. [/mm] (die grünen Winkel)
Betrachten wir nun den reflektierten Strahl (Gerade d). Wir wissen, dass er durch P(0,p) geht, also ist seine Steigung [mm] tan(\delta) [/mm] = (f(x) - p)/x (bitte nachvollziehen).
Mit etwas "Euklid" finden wir heraus, dass [mm] 2*\alpha [/mm] = 90° + [mm] \delta [/mm] ist (bitte nachvollziehen, Winkelsumme im Dreieck usw.).
Jetzt bleibt es uns nicht erspart, da mal den Tangens drauf loszulassen:
[mm] tan(2*\alpha) [/mm] = tan(90° + [mm] \delta) \Rightarrow [/mm]
[mm] \bruch{2*tan(\alpha)}{1-tan(\alpha)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{tan(\delta)}
[/mm]
So jetzt nähern wir uns mit Riesenschritten der gesuchten DGl, indem wir nämlich einsetzen:
[mm] \bruch{2*f'(x)}{1-f'(x)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{-x}{f(x) - p}
[/mm]
Puh! Der Rest ist jetzt aber einfach. Da die Aufgabenstellung rät, mit einem Ansatz an die DGl heranzugehen und wir schon wissen, dass eine Parabel rauskommen soll, versuch es mal mit dem Ansatz f(x) = [mm] a*x^{2} [/mm] und bestimme a. Wenn das gelingt (ich habe [mm] a=\bruch{1}{4p} [/mm] raus, für p=0.5 ergibt sich meine GeoGebra-Zeichnung), hat man wohl eine Lösung der DGl gefunden.
Gruß
Uli
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 So 26.10.2008 | | Autor: | Mathegirl |
whow, super!!! vielen dank!!! wenn ich bloß mal allein auf sowas kommen würde!
Aber vielleicht klappt das nach einigen Übungen.
Hab es zwar zu spät gelesen und das Übungsblatt schon abgegeben, aber vielleicht kannst mir ja die fertige Dgl mal schreiben, damit ich mich dann entweder freuen kann oder ärgern, weil es komplett falsch ist ;))))
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