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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Sim22 |
| Aufgabe | Lösen Sie die folgende Differentialgleichung:
[mm] x'=-2tx+2texp(-t^2) [/mm] , x(0)=-1 |
Hallo MatheForum,
ich komme im Moment bei der folgenden Aufgabe nicht mehr weiter: [mm] x'=-2tx+2texp(-t^2)
[/mm]
Der homogene "Teil" der Funktion ist Ax= x'=-2tx und die Störfunktion [mm] b(x)=2texp(-t^2)
[/mm]
Nun habe ich die Variablen des homogenen Teiles getrennt und integriert:
[mm] \Rightarrow \bruch{x'}{x}=-2t
[/mm]
[mm] \gdw \integral_{x(0)=-1}^{x(t)}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{t}{-2t dt}
[/mm]
[mm] \gdw lnx(t)-ln(-1)=-t^2
[/mm]
Und da liegt mein Problem, dass der ln nur für [mm] \IR^{>0} [/mm] definiert ist.
Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
Mit freundlichen Grüßen!
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Hallo Sim22,
> Lösen Sie die folgende Differentialgleichung:
> [mm]x'=-2tx+2texp(-t^2)[/mm] , x(0)=-1
> Hallo MatheForum,
> ich komme im Moment bei der folgenden Aufgabe nicht mehr
> weiter: [mm]x'=-2tx+2texp(-t^2)[/mm]
> Der homogene "Teil" der Funktion ist Ax= x'=-2tx und die
> Störfunktion [mm]b(x)=2texp(-t^2)[/mm]
>
> Nun habe ich die Variablen des homogenen Teiles getrennt
> und integriert:
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{x'}{x}=-2t[/mm]
> [mm]\gdw \integral_{x(0)=-1}^{x(t)}{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{t}{-2t dt}[/mm]
> [mm]\gdw lnx(t)-ln(-1)=-t^2[/mm]
>
> Und da liegt mein Problem, dass der ln nur für [mm]\IR^{>0}[/mm]
> definiert ist.
> Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
>
Zunächst sind dich die homogene und partikuläre Lösung der DGL
unabhängig von den Anfangsbedingungen zu berechnen.
Berechne die Integrale daher ohne Integrationsgrenzen.
Demnach:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}=\integral_{}^{}{-2t dt}+C[/mm]
> Mit freundlichen Grüßen!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Sim22 |
Vielen Dank, für deine schnelle Antwort!
Aber würde ich am Ende nicht wieder auf das selbe Problem stoßen?
[mm] \Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{1}{x}dx}=\integral_{}^{}{-2t dt} [/mm]
[mm] \gdw lnx+C_{1}=-t^2+C_{2}
[/mm]
[mm] \gdw lnx=-t^2+C_{2}-C_{1}
[/mm]
[mm] \gdw x=exp^{-t^2+C_{2}-C_{1}}
[/mm]
Nun die Anfangsbedingung: x(0)=-1
[mm] \Rightarrow x(0)=-1=exp^{-0^2+C_{2}-C_{1}}
[/mm]
[mm] \gdw -1=exp^{C_{2}-C_{1}}
[/mm]
[mm] \gdw ln(-1)=C_{2}-C_{1}
[/mm]
Und da habe ich wieder das selbe Problem.
Ich benötige die Anfangsbedingung doch um meine Konstanten auszurechnen, oder verstehe ich da etwas falsch?
Mit freundlichen Grüßen!
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Hallo Sim22.
> Vielen Dank, für deine schnelle Antwort!
> Aber würde ich am Ende nicht wieder auf das selbe Problem
> stoßen?
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{1}{x}dx}=\integral_{}^{}{-2t dt}[/mm]
> [mm]\gdw lnx+C_{1}=-t^2+C_{2}[/mm]
> [mm]\gdw lnx=-t^2+C_{2}-C_{1}[/mm]
> [mm]\gdw x=exp^{-t^2+C_{2}-C_{1}}[/mm]
>
Die homogene Lösung lautet also: [mm]x_{h}\left(t\right)=C*exp^{-t^{2}}[/mm]
> Nun die Anfangsbedingung: x(0)=-1
> [mm]\Rightarrow x(0)=-1=exp^{-0^2+C_{2}-C_{1}}[/mm]
> [mm]\gdw -1=exp^{C_{2}-C_{1}}[/mm]
>
> [mm]\gdw ln(-1)=C_{2}-C_{1}[/mm]
> Und da habe ich wieder das selbe
> Problem.
> Ich benötige die Anfangsbedingung doch um meine
> Konstanten auszurechnen, oder verstehe ich da etwas
> falsch?
>
Nein, das ist richtig.
Um die Konstanten auszurechnen, benötigst Du
noch die partikuläre Lösung. Diese kannst Du
z.B. durch Variation der Konstanten bestimmen,
d.h. C wird von t abhängig gemacht und dann in die DGL eingesetzt.
> Mit freundlichen Grüßen!
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Fr 20.06.2014 | | Autor: | Sim22 |
Vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden!
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