Differentialgleichung lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Fr 01.08.2014 | | Autor: | Sim22 |
| Aufgabe | Lösen der Differentialgleichung:
x''+2x'=3 |
Hallo Mathe-Forum,
Ich habe die Aufgabe bearbeitet, aber komme nicht auf das selbe Ergebnis wie in der Musterlösung.
[mm] \lambda^2+2*\lambda=3
[/mm]
Homogener Teil: [mm] \lambda^2+2*\lambda=0
[/mm]
[mm] \gdw \lambda1=0 [/mm] und [mm] \lambda2= [/mm] -2
[mm] \gamma_{h}=c1+c2*exp(-2t)
[/mm]
Inhomogener Teil:
[mm] G(t)=\pmat{ 1 & exp(-2t) \\ 0 & -2exp(-2t) }
[/mm]
[mm] G^-1(t)=\bruch{-1}{2*exp(-2t)}*\pmat{ -2exp(-2t) & -exp(-2t) \\ 0 & 1 } =\pmat{ 1 & 1/2 \\ 0 & -1/2exp(2t) }
[/mm]
[mm] \integral_{t0}^{t}{\pmat{ 1 & 1/2 \\ 0 & -1/2exp(2t) }*\vektor{0 \\ 3}dt}= \integral_{t0}^{t}{\vektor{3/2 \\ -3/2exp(2t)}dt} [/mm] = [mm] \vektor{3/2t \\ -3/4exp(2t)-3/4}
[/mm]
[mm] \gamma_{s}=(1, exp(-2t))*\vektor{3/2t \\ -3/4exp(2t)-3/4}=3/2t-3/4+3/4exp(-2t)
[/mm]
In der Musterlösung kommt jedoch [mm] \gamma_{s}=3/2t [/mm] raus.
Erkennt jemand einen Fehler in der Rechnung?
Ich würde mich über Eure Hilfe sehr freuen.
Mit freundlichen Grüßen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Fr 01.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> [mm]\gamma_{s}=(1, exp(-2t))*\vektor{3/2t \\ -3/4exp(2t)-3/4}=3/2t-3/4+3/4exp(-2t)[/mm]
>
> In der Musterlösung kommt jedoch [mm]\gamma_{s}=3/2t[/mm] raus.
> Erkennt jemand einen Fehler in der Rechnung?
Ohne sie nachgerechnet zu haben würde ich sagen, deine Rechnung ist richtig (wenngleich unbestimmter Ansatz hier viel einfacher gewesen wäre) und die Musterlösung stimmt ebenfalls.
Schauen wir und doch die Gesamtlösung an, die sich durch deine Rechnung ergibt:
[mm] $x(t)=\underbrace{\green{C_1}+\blue{C_2*e^{-2t}}}_{=x_h(t)} [/mm] + [mm] \underbrace{\frac{3}{2}*t\green{-\frac{3}{4}}+\blue{\frac{3}{4}*e^{-2t}}}_{=x_s(t)}$
[/mm]
und wenn wir "Gleichfarbiges" zusammenfassen, ausklammern und umbenennen erhalten wir
[mm] $x(t)=\green{C_1-\frac{3}{4}}+\blue{\left({C_2+\frac{3}{4}}\right)}*e^{-2t}+\frac{3}{2}*t=\green{D_1}+\blue{D_2}*e^{-2t}+\frac{3}{2}*t$
[/mm]
und das dürfte sich mit deiner Musterlösung decken.
Gruß RMix
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