Differentialgleichung lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Sa 12.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Finden Sie alle reellen Lösungen:
y'''-y=t |
Meine Idee wäre nun:
y'''=y+t
(inhomogene DGL dritter Ordnung)
1. Umwandeln in DGL erster Ordnung
2. allgemeine Lösung der homogenen Gleichung erster Ordnung
3. irgendwie eine spezielle Lösung der homogenen GDL erster Ordnung finden
Ich habe diese Frage auch hier gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=449021
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo dennis2,
das Ganze ist und bleibt eine DGL 3. Ordnung und deren homogene Lösung lässt sich doch recht einfach über das charakteristische Polynom finden. Danach ein Ansatz vom Typ der rechten Seite und Du hast deine Lösungen.
Starte also mal mit
[mm] \lambda^3 - \lambda = 0 [/mm]
und dann geht es weiter.
Viel Spaß dabei,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Sa 12.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Tut mir leid, ich verstehe gar nichts.
Kannst Du es vielleicht detailierter erklären?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:54 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dennis!
Vielleicht solltest Du mal eher erzählen, wie ihr bisher derartige DGL's gelöst habt.
Der Weg über das charakteristische Polynom ist der gängiste.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Sa 12.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich würde das gerne erzählen, aber ich weiß es nicht.
Was ist denn mit charakteristischem Polynom gemeint?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Sa 12.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Achja, stimmt ja, es sind ja hier konstante Koeffizienten!
In diesem Zusammenhang ist mir das char. Polynom ein Begriff.
Mal schauen, ob ich weiter komme.
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> Hallo Dennis!
>
> Siehe mal
> ![[]](/images/popup.gif) hier
> (bzw:
> pdf-Version).
> Da ist das Thema Differentialgleichung sehr schön
> beschrieben.
>
> Dein vorliegender Typ entspricht dem vorletzten Fall.
>
>
> Gruß
> Loddar
Hallo Loddar,
ich hab dort kurz reingeschaut und festgestellt, dass leider
gleich ganz am Anfang die Form der DGL falsch angegeben
ist, nämlich:
$\ [mm] a_n\ y^{(n)}+a_{n-1}\ y^{(n-1)}+...+a_2\ y''+a_1\ y'+a_0\ [/mm] =\ g(x)$
Auf der linken Seite sollte am Schluss natürlich [mm] a_0*y [/mm] und
nicht bloß [mm] a_0 [/mm] stehen.
Ein solcher Fehler in einer sonst guten Arbeit ist eine ziemlich
beschissene Sache ...
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Sa 12.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | 1. Bestimmung der allgemeinen Lösung der homogenen DFG mittels charakteristischem Polynom:
Allgemein gilt ja:
Gegeben sei eine DFG der Form:
[mm] u^{(n)}+\alpha_{n-1}u^{(n-1)}+...+\alpha_1u'+\alpha_0u=0.
[/mm]
Das zugehörige charakteristische Polynom ist dann
[mm] p(\lambda)=\lambda^n+\alpha_{n-1}\lambda^{n-1}+...+\alpha_1\lambda+\alpha_0.
[/mm]
Für meine Aufgabe bedeutet das doch:
[mm] p(\lambda)=\lambda^3-1=0 [/mm] oder?
[In Deinem Beitrag steht [mm] \lambda^3-\lambda, [/mm] deswegen meine Nachfrage.] |
Nun muss ich doch die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmen, richtig? Was mache ich dann mit diesen ermittelten Nullstellen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Sa 12.03.2011 | | Autor: | qsxqsx |
>Nun muss ich doch die Nullstellen des charakteristischen Polynoms >bestimmen, richtig?
Ja.
>Was mache ich dann mit diesen ermittelten Nullstellen?
Tja... am besten versuchst du zu verstehen wieso man den Ansatz mit dem Charakteristischen Polynom macht.
Setze mal als Ansatz y = [mm] e^{\lambda*t} [/mm] in die homogene DGL y''' - y = 0 ein.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Sa 12.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Es ist mir schon klar, dass es optimal wäre, wenn ich das alles verstehen würde.
Da ich das aber zur Zeit leider nicht tue, beantwortet mir das nicht meine Frage, welches charakteristische Polynom denn nun richtig ist und was ich dann mit den Nullstellen anfangen kann. |
...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Sa 12.03.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
dass die fkt deren dritte Ableitung gleich der fkt (eventuell bis auf einen Faktor ist eine e fkt ist weiss man, weil man das von der e-fkt. weiss
also hast du mit [mm] e^t [/mm] eine Loesung. fuer eine Dgl 3 ter Ordnung bauchts aber 3, da bietet sich t*e&t und [mm] t^2*e^t [/mm] an. setz ein und sieh nach, ob es Loesungen sind.
dann hast du ein system von 3 lin. unabh. Loesungen.
aber dein 1. vorschlag geht auch immer, also das Verwandeln in ein System von 3 Dgl.
y1=y, y2=y' y3=y'' Das System ist dann auch sehr einfach.
Wenn du das besser kannst mach es so.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mo 14.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Okay, ich habe also das Fundamentalsystem
[mm] \mu_1(t)=e^t
[/mm]
[mm] \mu_2(t)=te^t
[/mm]
[mm] \mu_3(t)=t^2e^t
[/mm]
Ist dies nun die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung?
Wenn ja, wie bestimme ich jetzt eine partikuläre? |
Das fehlt ja noch, denn gesucht sind ja ALLE reellen Lösungen der inhomogenen Gleichung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Okay, ich habe also das Fundamentalsystem
> [mm]\mu_1(t)=e^t[/mm]
> [mm]\mu_2(t)=te^t[/mm]
> [mm]\mu_3(t)=t^2e^t[/mm]
>
> Ist dies nun die allgemeine Lösung der homogenen
> Gleichung?
Nein. Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet:
$y(t)= [mm] c_1e^t+c_2te^t+c_3t^2e^t$ ($c_1,c_2,c_3 \in \IR)$
[/mm]
> Wenn ja, wie bestimme ich jetzt eine partikuläre?
Schau dir mal die inhomogene Gleichung genau an:
$y'''-y=t$
Vielleicht siehst Du dann, dass [mm] $y_p(t)=-t$ [/mm] eine Lösung ist.
Wenn nicht mach den Ansatz: [mm] $y_p(t)=at+b$
[/mm]
FRED
> Das fehlt ja noch, denn gesucht sind ja ALLE reellen
> Lösungen der inhomogenen Gleichung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Mo 14.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
>
> Wenn nicht mach den Ansatz: [mm]y_p(t)=at+b[/mm]
>
Oh nein, wieder ein Polynomansatz, den ich immer nicht begreife.
Also als partikuläre Lösung der homogenen Gleichung setze ich das Polynom [mm] y_p(t)=at+b [/mm] an.
Und was mache ich damit jetzt?
[Kannst Du das eventuell noch erklären?]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> >
> > Wenn nicht mach den Ansatz: [mm]y_p(t)=at+b[/mm]
> >
>
> Oh nein, wieder ein Polynomansatz, den ich immer nicht
> begreife.
>
> Also als partikuläre Lösung der homogenen Gleichung setze
> ich das Polynom [mm]y_p(t)=at+b[/mm] an.
Nein, als Lösung der inhomogenen Gleichung !!!
>
> Und was mache ich damit jetzt?
Dreimal differnzieren liefert: [mm] y_p \equiv [/mm] 0. Eingehen in die DGL liefert:
$0-(at+b)=t$
Koeefizientenvergleich bringt dann:
a=-1 und b=0
FRED
>
> [Kannst Du das eventuell noch erklären?]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Mo 14.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Man setzt also das Polynom als Lösung der homogenen Gleichung an, okay und setzt dies Polynom dann in die inhomogene Gleichung ein und macht einen Vergleich der Koeffizienten.
Damit lautet also die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung:
[mm] y(t)=c_1e^t+c_2te^t+c_3t^2e^t-t [/mm] ?
Sind dies nun alle reellen Lösungen?
Also [mm] c_1,c_2,c_3 [/mm] sind reell, und wenn man [mm] t\in \IR [/mm] wählt hat man wohl alle reellen Lösungen der inhomogenen Gleichung gefunden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Man setzt also das Polynom als Lösung der homogenen
> Gleichung an,
Nein, der inhomogenen !!
> okay und setzt dies Polynom dann in die
> inhomogene Gleichung ein und macht einen Vergleich der
> Koeffizienten.
>
> Damit lautet also die allgemeine Lösung der inhomogenen
> Gleichung:
>
> [mm]y(t)=c_1e^t+c_2te^t+c_3t^2e^t-t[/mm] ?
Ja
>
> Sind dies nun alle reellen Lösungen?
Ja
FRED
> Also [mm]c_1,c_2,c_3[/mm] sind reell, und wenn man [mm]t\in \IR[/mm] wählt
> hat man wohl alle reellen Lösungen der inhomogenen
> Gleichung gefunden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Mo 14.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Ja, inhomogen...
[Oh je, immer dieses Chaos bei mir.]
Und zwar hat es sich ja hier nicht um ein Anfangswertproblem gehandelt; gesetzt, dass man mal ein Anfangswertproblem dieser Art berechnen muss, kann man dann folgende Formel verwenden: |
Formel für die allgemeine Lösung [mm] \sigma_b(t;t_0,u_0,...,u_{n-1})der [/mm] inhomogenen Gleichung [mm] u^{(n)}+a_{n-1}(t)u^{(n-1)}+\hdots +a_1(t)u'+a_0(t)u=b(t), [/mm] wobei [mm] u(t_0)=u_0, u'(t_0)=u_1,...,u^{(n-1)}(t_0)=u_{n-1}:
[/mm]
[mm] (\mu_1(t),...,\mu_n(t))[W^{-1}(t_0)\vektor{u_0 \\ \vdots \\ u_{n-1}}+\integral_{t_0}^{t} W^{-1}(s)\vektor{0 \\ \vdots \\ 0 \\ b(s)}ds]?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja, inhomogen...
> [Oh je, immer dieses Chaos bei mir.]
>
> Und zwar hat es sich ja hier nicht um ein
> Anfangswertproblem gehandelt; gesetzt, dass man mal ein
> Anfangswertproblem dieser Art berechnen muss, kann man dann
> folgende Formel verwenden:
> Formel für die allgemeine Lösung
> [mm]\sigma_b(t;t_0,u_0,...,u_{n-1})der[/mm] inhomogenen Gleichung
> [mm]u^{(n)}+a_{n-1}(t)u^{(n-1)}+\hdots +a_1(t)u'+a_0(t)u=b(t),[/mm]
> wobei [mm]u(t_0)=u_0, u'(t_0)=u_1,...,u^{(n-1)}(t_0)=u_{n-1}:[/mm]
>
> [mm](\mu_1(t),...,\mu_n(t))[W^{-1}(t_0)\vektor{u_0 \\ \vdots \\ u_{n-1}}+\integral_{t_0}^{t} W^{-1}(s)\vektor{0 \\ \vdots \\ 0 \\ b(s)}ds]?[/mm]
Na ja, in der Praxis würde ich diese Formel nicht verwenden ! Ich zeigs Dir mal an obigem Beispiel:
Nimm an , Du hast das AWP
y'''-y=t, y(0)=0, y'(0)=1, y''(0)= -1
zu lösen. Zunächst verschaffst Du Dir die allg. Lösung der DGL y'''-y=t,. Diese lautet:
$ [mm] y(t)=c_1e^t+c_2te^t+c_3t^2e^t-t [/mm] $
Die Bedingungen y(0)=0, y'(0)=1, y''(0)= -1 liefern Dir dann ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen für [mm] c_1, c_2, c_3. [/mm] Dieses LGS ist eindeutig lösbar.
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Mo 14.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich wurde gerade darauf hingewiesen, dass ich die Nullstellen des char. Polynoms falsch berechnet habe:
http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1353956#post1353956
1 sei nicht dreifache Nullstelle und es gebe zwei komplexe Nullstellen...
http://de.wikipedia.org/wiki/Einheitswurzel
Dort steht es.
Ohje, dann ist die Aufgabe doch schwerer. Inwiefern spielt es hier eine Rolle, dass ich nur die rellen Lösungen des inhomogenen Systems brauche?
Mein Fundamentalsystem für die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist jedenfalls dann falsch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:18 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich wurde gerade darauf hingewiesen, dass ich die
> Nullstellen des char. Polynoms falsch berechnet habe:
>
> http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1353956#post1353956
>
> 1 sei nicht dreifache Nullstelle und es gebe zwei komplexe
> Nullstellen...
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Einheitswurzel
> Dort steht es.
>
> Ohje, dann ist die Aufgabe doch schwerer. Inwiefern spielt
> es hier eine Rolle, dass ich nur die rellen Lösungen des
> inhomogenen Systems brauche?
>
> Mein Fundamentalsystem für die allgemeine Lösung der
> homogenen Gleichung ist jedenfalls dann falsch.
Aua, Pardon, da hab ich nicht aufgepasst ! Tut mir leid
FRED
>
> ;(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mo 14.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Also die Nullstellen lauten also:
[mm] \tau_1=1
[/mm]
[mm] \tau_2=-\bruch{1}{2}+\gruch{i}{2}\sqrt{3}
[/mm]
[mm] \tau_3=-\bruch{1}{2}-\bruch{i}{2}\sqrt{3}
[/mm]
Damit müsste das Fundamentalsystem lauten:
[mm] \mu_1(t)=e^t
[/mm]
[mm] \mu_2(t)=e^{-\frac{1}{2}t}\cos(\bruch{\sqrt{3}}{2})t
[/mm]
[mm] \mu_3(t)=e^{-\bruch{1}{2}t}\sin(\bruch{\sqrt{3}}{2})t
[/mm]
Oder?
Und wie bestimmt man nun eine partikuläre Lösung und damit alle reellen Lösngen der inhomogenen DFG?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also die Nullstellen lauten also:
>
> [mm]\tau_1=1[/mm]
> [mm]\tau_2=-\bruch{1}{2}+\gruch{i}{2}\sqrt{3}[/mm]
> [mm]\tau_3=-\bruch{1}{2}-\bruch{i}{2}\sqrt{3}[/mm]
>
> Damit müsste das Fundamentalsystem lauten:
> [mm]\mu_1(t)=e^t[/mm]
> [mm]\mu_2(t)=e^{-\frac{1}{2}t}\cos(\bruch{\sqrt{3}}{2})t[/mm]
> [mm]\mu_3(t)=e^{-\bruch{1}{2}t}\sin(\bruch{\sqrt{3}}{2})t[/mm]
>
> Oder?
Richtig.
>
> Und wie bestimmt man nun eine partikuläre Lösung
Daran ändert sich nichts: eine part. Lösung von :
y'''-y=t
ist: [mm] $y_p(t)=-t$
[/mm]
> und
> damit alle reellen Lösngen der inhomogenen DFG?
................. DFG= Deutsche Forschungsgemeinschaft ( http://www.dfg.de/index.jsp) ...
Spaß beiseite:
Die allg. Lösung der inhomogenen Gleichung lautet:
$y(t)= [mm] c_1e^t [/mm] + [mm] c_2e^{-\frac{1}{2}t}\cos(\bruch{\sqrt{3}}{2})t [/mm] + [mm] c_3e^{-\frac{1}{2}t}\sin(\bruch{\sqrt{3}}{2})t [/mm] -t$
Ich bitte nochmals um Entschuldigung für meine Unachtsamkeit
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Mo 14.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
Dankesehr und es ist kein Problem.
Ich finde es ziemlich happig, dass diese Aufgabe in einer Klausur gestellt wurde und man keinerlei Hilfsmittel zurate ziehen durfte...
Wie soll man bitte die komplexen Nullstellen ermitteln...
Naja, vorbei ist vorbei.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Dankesehr und es ist kein Problem.
>
> Ich finde es ziemlich happig, dass diese Aufgabe in einer
> Klausur gestellt wurde und man keinerlei Hilfsmittel zurate
> ziehen durfte...
>
> Wie soll man bitte die komplexen Nullstellen ermitteln...
Das ist doch keine Kunst:
[mm] (\lambda^3-1):(\lambda-1)=\lambda^2+\lambda+1
[/mm]
Auf die Gl. [mm] \lambda^2+\lambda+1=0 [/mm] lasse die pq-Formel los.
FRED
>
> Naja, vorbei ist vorbei.
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> Finden Sie alle reellen Lösungen:
>
> y'''-y=t
> Meine Idee wäre nun:
>
> y'''=y+t
>
> (inhomogene DGL dritter Ordnung)
Wichtige Frage: Ist hier t die Hauptvariable oder eine Konstante ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Mo 14.03.2011 | | Autor: | dennis2 |
t ist hier die Hauptvariable.
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