Differentialgleichung lösen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Di 22.11.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Man löse die Differentialgleichung der Form $x'(t) = Ax(t), x(0) = b ,$ mit
$A =$ [mm] \begin{pmatrix}
1 & 3 \\
-3 & 1
\end{pmatrix} [/mm] $b=$ [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] |
Nun, die allgemeine Lösung ist ja $x(t) = [mm] e^{tA} [/mm] b, [mm] e^{tA} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^k}{k!} A^k [/mm] ,$ $b$ ein n-Zeilen Vektor.
Damit kann ich ja dann die Angabe einsetzen.
Wie komm ich nun aber auf eine explizite Lösung? Hat dies nun mit komplexer Analysis zu tun? Muss ich nun die Formel [mm] $e^{it} [/mm] = cos (t) + [mm] i\cdot [/mm] sin(t) $ in Matrixform darstellen?
Ich habe mit so etwas leider noch keine Erfahrung. Ich habe diese allgemeine Lösung im Internet gefunden^^
Wäre über Hilfe sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Di 22.11.2011 | | Autor: | Calli |
> Man löse die Differentialgleichung der Form [mm]x'(t) = Ax(t), x(0) = b ,[/mm]
> mit
> [mm]A =[/mm] [mm]\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
-3 & 1
\end{pmatrix}[/mm] [mm]b=[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
Die Aufgabenstellung ergibt doch folgendes DGL-System:
[mm] $\quad \dot x_1 [/mm] = [mm] x_1 [/mm] + [mm] 3\,x_2\\
[/mm]
[mm] \quad \dot x_2 [/mm] = [mm] -3\,x_1 [/mm] + [mm] x_2
[/mm]
was einfach zu lösen ist. 
Ciao Calli
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