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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:38 So 26.05.2019 | | Autor: | Ataaga |
| Aufgabe | Hallo Zusammen,
Hängt ein Seil nur unter der Last seines Gewichts, so beschreibt es eine Kettenlinie
x(t) = [mm] b+a*cosh\bruch{t+c}{a}, [/mm] a>0
a) Man rechne nach, dass x(t) diese Differentialgleichung erfüllt:
ax'' = [mm] \wurzel{1+x'^{2}}
[/mm]
b) Ein Seil soll zwischen den Punkten
A = (0m, 100m) und
B = (300m, 192,73m)
hängen, so dass es in A horizontal einmündet.
Wie sind a, b und c zu wählen?
Hinweis: Die entsprechende Gleichung für a können sie näherungsweise mit dem Compüter lösen.
c) Wie lang muss das Seil aus b) sein? |
Liebe Grüße
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Hallo Ataaga,
> Hallo Zusammen,
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> Hängt ein Seil nur unter der Last seines Gewichts, so
> beschreibt es eine Kettenlinie
>
> x(t) = [mm]b+a*cosh\bruch{t+c}{a},[/mm] a>0
>
>
> a) Man rechne nach, dass x(t) diese Differentialgleichung
> erfüllt:
>
> $a*x'' = [mm] \wurzel{1+(x')^{2}}$
[/mm]
$ x(t) [mm] \; =b+a*cosh\left(\bruch{t+c}{a}\right)$
[/mm]
[mm] $\dot [/mm] x(t) [mm] \;=\;sinh\left(\bruch{t+c}{a}\right)$
[/mm]
[mm] $\ddot [/mm] x(t) [mm] \;=\;\frac{1}{a}*cosh\left(\bruch{t+c}{a}\right)$
[/mm]
und damit: [mm] $a*\ddot x(t)\;=\;cosh\left(\bruch{t+c}{a}\right)$
[/mm]
[mm] $\sqrt{1+ \left(\dot x\right)^2}\;=\;\sqrt{1+\left(sinh\left(\frac{t+c}{a} \right)\right)^2 }$ [/mm] mit dem hyperbolischen Pythagoras [mm] $cosh^2(t)-sinh^2(t)\;=\;1$ [/mm] kommst Du bestimmt
weiter ...
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 So 26.05.2019 | | Autor: | Ataaga |
Hallo,
hier ist meine Berechnung.
Gruß
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 So 26.05.2019 | | Autor: | Martinius |
Hallo Ataaga,
es ist kein Upload vorhanden.
Du kannst Dein Ergebnis auch eintippen.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 So 26.05.2019 | | Autor: | Ataaga |
[mm] cosh(t+c/a)=\wurzel{1+sinh^2(t+c/a)} /()^2
[/mm]
[mm] cosh(t+c/a)=cosh^2(t+c/a)
[/mm]
[mm] coh^2(t+c/a)-sinh^2(t+c/a)=1
[/mm]
> Hallo Ataaga,
>
> es ist kein Upload vorhanden.
>
> Du kannst Dein Ergebnis auch eintippen.
>
> LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 So 26.05.2019 | | Autor: | Ataaga |
Wie mache ich jetzt b?
Liebe Grüße
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Hallo Ataaga,
Du hast in Deinem handschriftlichen Upload die Wurzel nicht (richtig) berechnet.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 So 26.05.2019 | | Autor: | Ataaga |
Ich konnte leider nicht erkennen wo mein Fehler liegt:
Können Sie mir bitte genau sagen wo ich Fehler gemacht habe.
Gruß
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Ataga,
$ \sqrt{1+ \left(\dot x\right)^2}\;=\;\sqrt{1+\left(sinh\left(\frac{t+c}{a} \right)\right)^2 } \;=\;\sqrt{\left(cosh\left(\frac{t+c}{a} \right)\right)^2 }\;=\;cosh\left(\frac{t+c}{a} \right) }$
LG, Martinius
P.S. Hier im Forum duzen wir uns alle.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 So 26.05.2019 | | Autor: | Ataaga |
cosh(t+c/a) = [mm] \wurzel{1+sinh^2(t+c/a)} ()^2
[/mm]
[mm] cosh^2(t+c/a) [/mm] = [mm] 1+sinh^2(t+c/a)
[/mm]
[mm] cosh^2(t+c/a)-sinh^2(t+c/a) [/mm] =1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:44 So 26.05.2019 | | Autor: | Martinius |
Hallo Ataaga,
> cosh(t+c/a) = [mm]\wurzel{1+sinh^2(t+c/a)} ()^2[/mm]
>
> [mm]cosh^2(t+c/a)[/mm] = [mm]1+sinh^2(t+c/a)[/mm]
Wahrscheinlich hast Du hier recht - Du hast gezeigt, dass die linke Seite der Gleichung der rechten entspricht - obwohl quadrieren nicht unbedingt zu den Äquivalenzumformung gehört.
Bsp.: (I) [mm] $x+5\;=7\;$
[/mm]
(II) [mm] $(x+5)^2\;=\;49$
[/mm]
> [mm]cosh^2(t+c/a)-sinh^2(t+c/a)[/mm] =1
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 So 26.05.2019 | | Autor: | Ataaga |
Hallo Martinius,
genau das wollte ich zeigen.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 So 26.05.2019 | | Autor: | Ataaga |
Aufgabenteil a ist nun erledigt oder?
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Hallo Ataaga,
> Aufgabenteil a ist nun erledigt oder?
Jein. Vielleicht kann noch einer von den studierten Mathematikern / Mathematiklehreren etwas dazu schreiben.
Zu Aufgabenteil b):
Wir haben [mm] $x(t)\;=\;a*cosh\left(\frac{t+c}{a} \right)+b$ [/mm] mit den drei Parametern a, b, c.
Kümmern wir uns zunächst um c. Der Hyperbelcosinus sieht einer nach oben geöffneten Parabel ähnlich - beide Funktionen haben nur ein Extremum - ein Minimum.
Wir wissen aus der Aufgabenstellung: " ..., so dass es (der Graph) in A (0m / 100m) horizontal einmündet."
Das Minimum (Steigung = 0) liegt also bei t = 0 über dem Ursprung. Da c dafür verantwortlich ist, den Graphen nach links oder rechts zu verschieben, müsste c = 0 sein.
Damit: [mm] $x(t)\;=\;a*cosh\left(\frac{t}{a} \right)+b$
[/mm]
Wenn ich das soweit hoffentlich richtig habe, dann müssen wir noch a und b bestimmen - aus A (0m / 100m) und B (300m / 192,73m)
LG, Martinius
Edit: für die Nachwelt:
[mm] $x(t)\;\approx\;500,013*cosh \left(\frac{t}{500,013} \right)-400,013$ [/mm] und die Bogenlänge: [mm] $\int_{0}^{300}\sqrt{1+\left(\dot x \right)^2}\;dt\;\approx \;318,326\;m$
[/mm]
Hoffentlich ohne Fehler.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Sa 01.06.2019 | | Autor: | Ataaga |
Danke sehr......
beste Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Sa 01.06.2019 | | Autor: | Martinius |
Hallo Ataaga,
> Danke sehr......
> beste Grüße
Bitteschön.
Ist Dir denn der Rechenweg klar?
LG, Martinius
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