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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Mi 23.08.2017 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichungen
y''(x)-3y'(x)+2y(x) = [mm] 10e^{x} [/mm] |
Hallo,
hier einmal meine Lösung:
y''(x)-3y'(x)+2y(x) = [mm] 10e^{x}
[/mm]
= [mm] \lambda^{2} [/mm] - [mm] 3\lambda [/mm] + 2 = 0
Mit Hilfe der PQ-Formel erhalte ich [mm] \lambda_{1}=2 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=1.
[/mm]
=> yh(x) = [mm] c_{1}*e^{2x} [/mm] + [mm] c_{2}*e^{x}
[/mm]
=> b(x) = [mm] 10e^{x} [/mm] ; ys(x) = Ax+B ; ys'(x) = A ; ys''(x) = 0
=> y''(x)-3y'(x)+2y(x) = [mm] 10e^{x} [/mm]
= 0 - 3A + 2Ax + 2B = [mm] 10e^{x}
[/mm]
Nun habe ich die einzelnen Variablen berechnet
2Ax = [mm] 10e^{x} [/mm] => A = [mm] \bruch{5e^{x}}{x}
[/mm]
Nun bin ich mir nicht sicher, ob dies bis hierher richtig ist und ob man den Ausdruck für A noch weiter vereinfachen kann. Könnt ihr mir da helfen?
Vielen Dank !
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Hallo,
> Bestimme die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichungen
>
> y''(x)-3y'(x)+2y(x) = [mm]10e^{x}[/mm]
> Hallo,
>
> hier einmal meine Lösung:
>
> y''(x)-3y'(x)+2y(x) = [mm]10e^{x}[/mm]
>
> = [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]3\lambda[/mm] + 2 = 0
>
> Mit Hilfe der PQ-Formel erhalte ich [mm]\lambda_{1}=2[/mm] und
> [mm]\lambda_{2}=1.[/mm]
>
> => yh(x) = [mm]c_{1}*e^{2x}[/mm] + [mm]c_{2}*e^{x}[/mm]
>
> => b(x) = [mm]10e^{x}[/mm] ; ys(x) = Ax+B ; ys'(x) = A ; ys''(x) =
> 0
nein. Wenn das sog. Störglied deiner inh. lin. DGL mit konstanten Koeffizienten von der Form
$ g(x) = [mm] ae^x$ [/mm] ist, dann ist dein spezieller Ansatz für die Lösung von der Form $ [mm] y_s [/mm] = [mm] Ae^x$
[/mm]
Dann ist $ y''_s(x) = [mm] Ae^x [/mm] = y'_s(x) = [mm] y_s(x)$
[/mm]
>
> => y''(x)-3y'(x)+2y(x) = [mm]10e^{x}[/mm]
>
> = 0 - 3A + 2Ax + 2B = [mm]10e^{x}[/mm]
>
> Nun habe ich die einzelnen Variablen berechnet
>
> 2Ax = [mm]10e^{x}[/mm] => A = [mm]\bruch{5e^{x}}{x}[/mm]
>
> Nun bin ich mir nicht sicher, ob dies bis hierher richtig
> ist und ob man den Ausdruck für A noch weiter vereinfachen
> kann. Könnt ihr mir da helfen?
>
> Vielen Dank !
LG,
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Mi 23.08.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Bestimme die allgemeine Lösung der
> > Differentialgleichungen
> >
> > y''(x)-3y'(x)+2y(x) = [mm]10e^{x}[/mm]
> > Hallo,
> >
> > hier einmal meine Lösung:
> >
> > y''(x)-3y'(x)+2y(x) = [mm]10e^{x}[/mm]
> >
> > = [mm]\lambda^{2}[/mm] - [mm]3\lambda[/mm] + 2 = 0
> >
> > Mit Hilfe der PQ-Formel erhalte ich [mm]\lambda_{1}=2[/mm] und
> > [mm]\lambda_{2}=1.[/mm]
> >
> > => yh(x) = [mm]c_{1}*e^{2x}[/mm] + [mm]c_{2}*e^{x}[/mm]
> >
> > => b(x) = [mm]10e^{x}[/mm] ; ys(x) = Ax+B ; ys'(x) = A ; ys''(x) =
> > 0
>
> nein. Wenn das sog. Störglied deiner inh. lin. DGL mit
> konstanten Koeffizienten von der Form
>
> [mm]g(x) = ae^x[/mm] ist, dann ist dein spezieller Ansatz für die
> Lösung von der Form [mm]y_s = Ae^x[/mm]
Da muss ich widersprechen !
[mm] Ae^x [/mm] ist doch eine Lösung der obigen homogenen Gleichung ! Dann ist das nie und nimmer eine Lösung der inhomogenen Gleichung.
Der richtige Ansatz für eine spezielle Lösung ist
[mm] y_s(x)=Axe^x.
[/mm]
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> Dann ist [mm]y''_s(x) = Ae^x = y'_s(x) = y_s(x)[/mm]
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> >
> > => y''(x)-3y'(x)+2y(x) = [mm]10e^{x}[/mm]
> >
> > = 0 - 3A + 2Ax + 2B = [mm]10e^{x}[/mm]
> >
> > Nun habe ich die einzelnen Variablen berechnet
> >
> > 2Ax = [mm]10e^{x}[/mm] => A = [mm]\bruch{5e^{x}}{x}[/mm]
> >
> > Nun bin ich mir nicht sicher, ob dies bis hierher richtig
> > ist und ob man den Ausdruck für A noch weiter vereinfachen
> > kann. Könnt ihr mir da helfen?
> >
> > Vielen Dank !
>
> LG,
> ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:37 Mi 23.08.2017 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Fred,
du hast natürlich Recht! Wir hatten ja $ [mm] \lambda [/mm] = 1$ als Lösung des char. Polynoms.
Danke für's Aufpassen.
LG,
ChopSuey
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