Differentialgleichungen lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 Fr 16.07.2010 | | Autor: | keying |
Hallo ihr Lieben!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin neu im im Matheraum und muss meinen Einstieg leider mit einer wichtigen Frage starten, da ich zur Zeit sehr verwirrt bin von verschiedenen Methoden zur Berechnung von Differentialgleichungen.
Ich fang dann mal an:
1. wie löst man eine Dgl mit doppelten Nullstellen
2. wie löst man eine Dgl mit komplexen Eigenwerten
3. in wie weit unterscheidet sich der Lösungsweg von y'=Ay mit A diagonalisierbar und A nicht diagonalisierbar?
4. Wann braucht man genau die e-Funktion?
Wir haben eine Lösungsformel angegeben:
[mm] y(x)=C_1*e^{lambda_1*t}*v_1+...
[/mm]
Nur ist mir nicht ganz klar inwiefern sich diese bei komplexen, doppelten etc Eigenwerten verändert.
Ich habe zwei Lösungswege. Mit dem einen komme ich auf die obige Gleichung, aber auch nur, wenn die EWe nicht doppelt etc sind. Und zwar:
1. EWe berechnen.
2. EVen berechnen und in Gleichung einsetzen.
3. Falls AWP vorhanden auch die Konstanten [mm] C_i [/mm] berechen.
Die zweite Lösungsmethode habe ich einem Buch gefunden. Ich weiß aber nicht genau, ob sie für alle Fälle gilt:
1. die berechneten EWe in die allgemeine Form [mm] y_1=C_1*e^{lambda_1*x}+C_2*e^{lambda_2*x} [/mm] einsetzen (hier zu einer 2x2-Matrix)
2. [mm] y_1 [/mm] ableiten und in die Gleichung [mm] y_2=1/a_1_2*(y'_1-a_1_1 *y_1) [/mm] einsetzen.
Ich weiß auch wie ich auf die Gleichung komme, aber darum gehts ja auch nicht.
Ich wäre um jede Hilfe dankbar, durch die ich meine Gedanken sortieren kann :)
Danke schonmal, keying
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Hi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
dein Ansatz war $ [mm] y(x)=C_1\cdot{}e^{\lambda_1\cdot{}t}\cdot{}v_1+... [/mm] $
> wie löst man eine Dgl mit doppelten Nullstellen
Ansatz für doppelte Nullstelle [mm] \lambda_1
[/mm]
$ [mm] y(x)=(C_1 +t\cdot C_2)\cdot{}e^{\lambda_1\cdot{}t}+... [/mm] $
> wie löst man eine Dgl mit komplexen Eigenwerten
Eigenwert=Nullstelle
Sei [mm] \lambda_1 [/mm] eine komplexe Nullstelle ds rellen Polynoms, dann ist auch ihre Konjugierte [mm] $\overline{\lambda_1}=\lambda_2$ [/mm] eine Nullstelle
$ [mm] y(x)=C_1\cdot{}e^{\lambda_1\cdot{}t}+ C_2\cdot{}e^{\lambda_2\cdot{}t}... [/mm] $
> in wie weit unterscheidet sich der Lösungsweg von y'=Ay mit A diagonalisierbar und A nicht diagonalisierbar?
siehe https://matheraum.de/read?t=701830
> Wann braucht man genau die e-Funktion?
Bei linearen DLG setzt man eigentlich [mm] $e^A$ [/mm] an wobei [mm] $A\in\IR^{n\times n}$
[/mm]
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