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Sei V VR aller Polynome int vom Grad <= 3.
Auf V erklärt man das innere Produkt:
<p,q> = $ [mm] \integral_{0}^{1}{p(t) q(t) dt} [/mm] $ .
D : V ->V sei nun der Differentialoperator (Dp)(t) = $ [mm] \bruch{d}{dt} [/mm] $ p(t) .
Ist dies dann nun gleichbedeutend mit:
D sei eine Abbildung von V -> V. Auf V ist das innere Produkt:
<p,q> = $ [mm] \integral_{0}^{1}{p'(t) q(t) dt} [/mm] $ (also die Ableitung von p).
Oder wo wird der Operator angewendet? Wie bestimmt man die Matrixdarstellung (orthogonal) von D bzgl. der Basis {1, t, t², [mm] t^3 [/mm] } .
Ich würde so anfangen:
$ [mm] u_1 [/mm] $ = $ [mm] v_1 [/mm] $ = 1
$ [mm] u_2 [/mm] $ = $ [mm] v_2 [/mm] $ - $ [mm] \bruch{}{} [/mm] $ * $ [mm] u_1 [/mm] $
wobei $ [mm] v_2 [/mm] $ = t und $ [mm] [/mm] $ = $ [mm] \integral_{0}^{1}{(t)' \cdot{} 1 dt} [/mm] $ = $ [mm] \integral_{0}^{1}{(1 \cdot{} 1 dt} [/mm] $ = 1.
Aber dann wäre $ [mm] [/mm] $ ja gleich 0, was aber nicht sein darf...
Wie muss man denn nun vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Sa 10.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Skalarprodukt brauchst du nur für die Orthogonalisierung.
D bildet etwa [mm] x^2+2x+3 [/mm] auf 2x+3 ab.
Die matrix findet man immer, indem man die Bilder der BasisVektoren als spalten nimmt!
Unerklärlich in deinem post ist dass du 2 Skalarprodukte erklärt hast. das zweite ist nicht bilinear, also keins.
Du hättest wohl besser die Aufgabe im Orginal zitiert, statt in einigen Bruchstücken!
Gruss leduart.
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| Aufgabe | Sei V VR aller Polynome int vom Grad <= 3.
Auf V erklärt man das innere Produkt:
<p,q> = $ [mm] \integral_{0}^{1}{p(t) q(t) dt} [/mm] $ .
D : V ->V sei nun der Differentialoperator (Dp)(t) = $ [mm] \bruch{d}{dt} [/mm] $ p(t) . |
Das ist die Aufgabe, so wie ich es geschrieben habe. Nur dass man eben die Matrixdarstellung des adjungierten Operators D* bzgl der Basis 1,t,t², [mm] t^3 [/mm] bestimmen soll. Aber das geht ja recht einfach, wenn man mal die Matrixdarstellung von D hätte.
Was ich eben nicht ganz verstehe, für was man das Skalarprodukt braucht.
Weil D sieht ja eigenltich so aus:
1 -> 0
t -> 1
t²-> 2t
[mm] t^3 [/mm] -> 3t²
Matrixdarstellung dann eben die Koeffizienten...
Braucht man nun das Skaarprodukt, um eine orthogonale Basis zu erhalten, um dann D* bestimmen zu können?
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> Sei V VR aller Polynome int vom Grad <= 3.
> Auf V erklärt man das innere Produkt:
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> <p,q> = [mm]\integral_{0}^{1}{p(t) q(t) dt}[/mm] .
> D : V ->V sei nun der Differentialoperator (Dp)(t) =
> [mm]\bruch{d}{dt}[/mm] p(t) .
> Das ist die Aufgabe, so wie ich es geschrieben habe. Nur
> dass man eben die Matrixdarstellung des adjungierten
> Operators D* bzgl der Basis 1,t,t², [mm]t^3[/mm] bestimmen soll.
Hallo,
soso, "nur dass".
Ist es denn sooooo schwierig, die genaue Aufgabe im exakten Wortlaut zu posten?
Du sollst also wirklich die Matrixdarstellung bzgl [mm] (1,t,t^2, t^3) [/mm] posten? Das kann sein.
> Aber das geht ja recht einfach, wenn man mal die
> Matrixdarstellung von D hätte.
> Was ich eben nicht ganz verstehe, für was man das
> Skalarprodukt braucht.
> Weil D sieht ja eigenltich so aus:
> 1 -> 0
> t -> 1
> t²-> 2t
> [mm]t^3[/mm] -> 3t²
> Matrixdarstellung dann eben die Koeffizienten...
Vorausgesetzt, Du meinst mit "dann eben die Koeffizienten" das, was ich mir gerade darunter vorstelle, dann ist das so.
Aber für die Aufgabe nützt Dir das noch nicht so viel.
Es ist doch so, daß Du, wenn Du die Matrixdarstellung der Abildung D bzgl einer ONB hast, die Matrixdarstellung von [mm] D^{\*} [/mm] sehr einfach bekommst.
Du brauchst also eine ONB von V, und die bekommst Du durch Orthonomierung der Basis [mm] B=(1,t,t^2,t^3).
[/mm]
Und für diese Orthonormierung brauchst Du das Skalarprodukt.
Stell dann die darstellende Matrix von D bzgl der erhaltenen ONB B' auf, transponieren der Matrix liefert Dir die darstellende Matrix von [mm] D^{\*} [/mm] bzgl B'.
Daraus kannst Du ja dann die Matrixdarstellung von [mm] D^{\*} [/mm] bzgl B gewinnen.
Gruß v. Angela
> Braucht man nun das Skaarprodukt, um eine orthogonale
> Basis zu erhalten, um dann D* bestimmen zu können?
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OK, danke. Ich fang einfach mal an mit bestimmung einer orthonormalen Basis von V...
w1 = [mm] \bruch{w1'}{||w1'||} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{\integral_{0}^{1}{1 * 1 dx}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1}} [/mm] = 1.
w2' = v2 - <v2,w1> * w1.
<v2,w1> = [mm] \integral_{0}^{1}{ t * 1 dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
w2' = t - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
||w2'|| = [mm] \wurzel{\integral_{0}^{1}{t² - t + \bruch{1}{4} dx}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{3} - \bruch{1}{2} + \bruch{1}{4}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{12}}
[/mm]
w2 = [mm] \bruch{t-\bruch{1}{2}}{\wurzel{\bruch{1}{12}}}
[/mm]
Stimmt das soweit, bevor ich weiterrechne und alles falsch ist...
Wenn ich dann die Basis habe, muss ich dann D bzgl dieser Basis darstellen, danach transponieren, das ist dann D* bzgl. der Basis. Und dann muss ich noch D* bzgl. 1, t, t², [mm] t^3 [/mm] darstellen. Ist das dann richtig?
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> OK, danke. Ich fang einfach mal an mit bestimmung einer
> orthonormalen Basis von V...
>
> w1 = [mm]\bruch{w1'}{||w1'||}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{\integral_{0}^{1}{1 * 1 dx}}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1}}[/mm] = 1.
>
> w2' = v2 - <v2,w1> * w1.
> <v2,w1> = [mm]\integral_{0}^{1}{ t * 1 dx}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> w2' = t - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> ||w2'|| = [mm]\wurzel{\integral_{0}^{1}{t² - t + \bruch{1}{4} dx}}[/mm]
> = [mm]\wurzel{\bruch{1}{3} - \bruch{1}{2} + \bruch{1}{4}}[/mm] =
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{12}}[/mm]
>
> w2 = [mm]\bruch{t-\bruch{1}{2}}{\wurzel{\bruch{1}{12}}}[/mm]
>
> Stimmt das soweit, bevor ich weiterrechne und alles falsch
> ist...
Hallo,
das sieht richtig aus in meinen trüben Augen.
> Wenn ich dann die Basis habe, muss ich dann D bzgl dieser
> Basis darstellen,
Ja.
> danach transponieren, das ist dann D*
> bzgl. der Basis.
Ja.
> Und dann muss ich noch D* bzgl. 1, t, t²,
> [mm]t^3[/mm] darstellen. Ist das dann richtig?
Ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Sa 24.01.2009 | | Autor: | farnold |
Wir sollen hier doch einen selbstadjungierten Endomorhpismus erstellen und wenn F selbstadjungiert ist, dann ist die Darstellungsmatrix symmetrisch im reellen und hermitesch im komplexen Fall sein.
Die Matrix A ist symmetrisch wenn A = [mm] A^{t} [/mm] ist.
Warum muss ich dann transponieren wenn doch A = [mm] A^{t} [/mm] ist, oder wo liegt bei mir der Denkfehler?
> danach transponieren, das ist dann D*
> bzgl. der Basis.
>Ja.
Edit: Oh sehe gerade, dass es sich um einen adjungierten Endomorphismus handelt.
Gibt es einen Algorithmus wie ich vorgehen muss, wenn ich einen selbstadjungierten Endomorphismus aus dem Skalarprodukt und Differentialoperator basteln möchte?
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> Edit: Oh sehe gerade, dass es sich um einen adjungierten
> Endomorphismus handelt.
> Gibt es einen Algorithmus wie ich vorgehen muss, wenn ich
> einen selbstadjungierten Endomorphismus aus dem
> Skalarprodukt und Differentialoperator basteln möchte?
Hallo,
wenn Du einen Endomorphismus f hast und seinen adjunjierten Endomorphismus [mm] f^{\*}, [/mm] so ist f [mm] \circ f^{\*} [/mm] selbstadjungiert.
Gruß v. Angela
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