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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Sa 12.11.2011 | | Autor: | lilia25 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass der Differentialoperator [mm] T:(C^1[0,1],||. ||_{\infty})\to (C^0[0,1],||.||_{\infty´}) [/mm] mit $Tu=u'$ unbeschränkt ist, aber dass T beschränkt wird, wenn [mm] C^1[0,1] [/mm] mit der Norm [mm] ||u||:=||u||_{\infty}+||u'||_{\infty} [/mm] ausgestattet ist. |
Hallo, zusammen!!
Um zu zeigen, dass $T$ beschränkt ist, muss man zeigen:
Es existiert ein [mm] $c\ge [/mm] 0$ mit [mm] $||Tu||_{\infty}\le c||u||_{\infty}$, [/mm] also [mm] $||u'||_{\infty}\le c||u||_{\infty}$. [/mm]
Ich habe in ein paar Bücher nachgeschaut, man beweist so was dort, in dem man einfach irgendeine Funktion nimmt, die in [mm] C^1[0,1] [/mm] liegt und die Ableitung in [mm] C^0[0,1] [/mm] hat, z.B [mm] u(x)=x^n. [/mm] Ich will das allgemein beweisen, aber weiß irgendwie nicht wie man daran geht...
Würde mich über jede Hilfe freuen!!
Vielen Dank im Voraus
Beste Grüße
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> Zeigen Sie, dass der Differentialoperator [mm]T:(C^1[0,1],||. ||_{\infty})\to (C^0[0,1],||.||_{\infty´})[/mm]
> mit [mm]Tu=u'[/mm] unbeschränkt ist, aber dass T beschränkt wird,
> wenn [mm]C^1[0,1][/mm] mit der Norm
> [mm]||u||:=||u||_{\infty}+||u'||_{\infty}[/mm] ausgestattet ist.
>
> Hallo, zusammen!!
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> Um zu zeigen, dass [mm]T[/mm] beschränkt ist, muss man zeigen:
> Es existiert ein [mm]c\ge 0[/mm] mit [mm]||Tu||_{\infty}\le c||u||_{\infty}[/mm],
> also [mm]||u'||_{\infty}\le c||u||_{\infty}[/mm].
> Ich habe in ein paar Bücher nachgeschaut, man beweist so
> was dort, in dem man einfach irgendeine Funktion nimmt, die
> in [mm]C^1[0,1][/mm] liegt und die Ableitung in [mm]C^0[0,1][/mm] hat, z.B
> [mm]u(x)=x^n.[/mm] Ich will das allgemein beweisen, aber weiß
> irgendwie nicht wie man daran geht...
> Würde mich über jede Hilfe freuen!!
> Vielen Dank im Voraus
> Beste Grüße
Der zweite teil der Aufgabe ist einfach, denn [mm] C^0[0,1] [/mm] behält ja die ursprüngliche [mm] \infty-Norm. [/mm] Damit ist
[mm] \|Tu\|_{\infty}=\|u'\|_{\infty} \le \|u\|_{\infty}+\|u'\|_{\infty}=\|u\|
[/mm]
Das ist schon alles, also eigentlich ist es nur ein Einsetzen der Definition.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Sa 12.11.2011 | | Autor: | lilia25 |
Hallo, donquijote!!
danke für deine Antwort!!
Ich stecke noch im ersten Teil. Könntest Du mir einen Tipp geben wie man so was beweisen könnte ganz allgemein?
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> Hallo, donquijote!!
> danke für deine Antwort!!
> Ich stecke noch im ersten Teil. Könntest Du mir einen
> Tipp geben wie man so was beweisen könnte ganz allgemein?
>
Dazu könntest du zum Beispiel die Funktion [mm] u_n(x)=\sin [/mm] nx betrachten.
Dann ist [mm] \|u_n\|_{\infty}\le [/mm] 1 und [mm] \|u_n'\|_{\infty}=n
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:55 So 13.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass der Differentialoperator [mm]T:(C^1[0,1],||. ||_{\infty})\to (C^0[0,1],||.||_{\infty´})[/mm]
> mit [mm]Tu=u'[/mm] unbeschränkt ist, aber dass T beschränkt wird,
> wenn [mm]C^1[0,1][/mm] mit der Norm
> [mm]||u||:=||u||_{\infty}+||u'||_{\infty}[/mm] ausgestattet ist.
>
> Hallo, zusammen!!
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> Um zu zeigen, dass [mm]T[/mm] beschränkt ist, muss man zeigen:
> Es existiert ein [mm]c\ge 0[/mm] mit [mm]||Tu||_{\infty}\le c||u||_{\infty}[/mm],
> also [mm]||u'||_{\infty}\le c||u||_{\infty}[/mm].
> Ich habe in ein paar Bücher nachgeschaut, man beweist so
> was dort, in dem man einfach irgendeine Funktion nimmt, die
> in [mm]C^1[0,1][/mm] liegt und die Ableitung in [mm]C^0[0,1][/mm] hat, z.B
> [mm]u(x)=x^n.[/mm] Ich will das allgemein beweisen, aber weiß
> irgendwie nicht wie man daran geht...
Dass es kein c gibt mit
[mm]||u'||_{\infty}\le c||u||_{\infty}[/mm] für alle u [mm] \in C^1[0,1], [/mm] siehst Du doch mit obigen Funktionen [mm] u_n(x)=x^n
[/mm]
Es ist [mm] ||u_n||_{\infty}=1, [/mm] aber [mm] |u'_n||_{\infty}=n
[/mm]
FRED
Edit: ich habe ganz übersehen, dass die Frage schon beantwortet wurde.
> Würde mich über jede Hilfe freuen!!
> Vielen Dank im Voraus
> Beste Grüße
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