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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Mo 28.06.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
ich habe eine differenzierbare Kurve [mm] $\gamma: ]-\varepsilon,\varepsilon[ \to \IR^3$ [/mm] und eine differenzierbare Funktion [mm] $f:\IR^3 \to \IR$ [/mm] gegeben. Zu zeigen habe ich, dass der Betrag des Anstiegs von $f$ entlang [mm] $\gamma$ [/mm] (also Betrag des Anstiegs von $f [mm] \circ \gamma$) [/mm] im Punkt [mm] $\gamma [/mm] (0)$ kleiner oder gleich [mm] $||grad_{\gamma (0)} [/mm] f [mm] ||*||\gamma [/mm] '(0)||$ ist.
Nun habe ich mir folgendes überlegt:
(a) Sei $t [mm] \in ]-\varepsilon,\varepsilon[ [/mm] , p [mm] \in \IR^3$. [/mm] Da [mm] $\gamma$ [/mm] eine Kurve ist, gilt: [mm] $D_p\gamma(t)=tD_p\gamma(1)$
[/mm]
(b) $D_pf$ ist linear, also $D_pf(tv)=tD_pf(v), v [mm] \in \IR^3$.
[/mm]
(i) Demnach folgt nach der Kettenregel: [mm] $D_p(f \circ \gamma)(t)= D_{\gamma (0)} [/mm] f [mm] (\gamma_{0} [/mm] (t))=t [mm] D_{\gamma (0)} [/mm] f [mm] (\gamma_{0} [/mm] (1))$.
Nun wende ich die fundamentale Eigenschaft des Gradienten an, die allgemein lautet: [mm] $D_pf(v)=\langle grad_{p} [/mm] f, v [mm] \rangle$
[/mm]
Also in (i) eingesetzt:
$t [mm] D_{\gamma (0)} [/mm] f [mm] (\gamma_{0} [/mm] (1))= t [mm] \langle grad_{\gamma (0)} f,D_{0} \gamma [/mm] (1) [mm] \rangle [/mm] = t [mm] \langle grad_{\gamma (0)} [/mm] f, [mm] \langle grad_{0} \gamma,1\rangle \rangle [/mm] $
Und nun meine (dumme) Frage: Für das Standardskalarprodukt in [mm] $\IR$ [/mm] gilt ja [mm] $\langle [/mm] a,b [mm] \rangle \leq [/mm] ||a|| * ||b||$. Gilt das auch im [mm] \IR^3, [/mm] in dem ich mich ja hier bewege? Und brächte mich das weiter?
Vielen Dank,
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 10:23 Di 29.06.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo Wessel!
Die Aufgabe kommt mir bekannt vor. Meine Antwort hat Ulrike sich angesehen und sie meint es is ok:
Fürs Skalarprodukt gilt doch:
[mm]\left\langle a,b \right\rangle = |a|*|b|*cos\alpha [/mm], wobei alpha der Winkel zwischen den Vektoren ist.
also für die Sache mit dem Gradienten:
[mm] $||grad_{\gamma (0)} [/mm] f [mm] ||*||\gamma [/mm] '(0)|| * cos [mm] \alpha [/mm] $ für alpha der eingeschlossene Winkel. Das bedeutet: Steht der Gradient senkrecht zum Vektor v is der Winkel gleich 90° und der cos ist 1, dann hättest du den fall der Gleichheit, bzw. die linke seite wird maximal:
[mm] $||grad_{\gamma (0)} [/mm] f [mm] ||*||\gamma [/mm] '(0)|| * cos 90° = [mm] ||grad_{\gamma (0)} [/mm] f [mm] ||*||\gamma [/mm] '(0)||$
Sonst gilt:
[mm] $||grad_{\gamma (0)} [/mm] f [mm] ||*||\gamma [/mm] '(0)|| * cos [mm] \alpha \le ||grad_{\gamma (0)} [/mm] f [mm] ||*||\gamma [/mm] '(0)||$
Vielleicht hilft dir das weiter.
Gruß,
Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Di 29.06.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo Micha,
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> Die Aufgabe kommt mir bekannt vor.
Mmh, glaube, die müßte so etwa 100 Leuten bekannt vorkommen... 
>
> Fürs Skalarprodukt gilt doch:
> [mm]\left\langle a,b \right\rangle = |a|*|b|*cos\alpha [/mm], wobei
> alpha der Winkel zwischen den Vektoren ist.
>
> also für die Sache mit dem Gradienten:
> [mm]||grad_{\gamma (0)} f ||*||\gamma '(0)|| * cos \alpha[/mm] für
> alpha der eingeschlossene Winkel. Das bedeutet: Steht der
> Gradient senkrecht zum Vektor v is der Winkel gleich 90°
> und der cos ist 1, dann hättest du den fall der Gleichheit,
> bzw. die linke seite wird maximal:
Ist der Cosinus von 90° nicht gleich 0??? Das wäre auch sinnvoller, denn wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ist das Skalarprodukt dieser gleich 0.
Den größten Anstieg von f entlang [mm] \gamma [/mm] kann ich auch nur (anschaulich) haben, wenn ich f entlang [mm] \gamma [/mm] laufe, d.h. der Winkel zwischen beiden gleich 0° ist
>
> [mm] $||grad_{\gamma (0)} [/mm] f [mm] ||*||\gamma [/mm] '(0)|| * cos$ 0° $= [mm] ||grad_{\gamma (0)} [/mm] f [mm] ||*||\gamma [/mm] '(0)||$
>
Gruß,
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Di 29.06.2004 | | Autor: | Micha |
> Hallo Micha,
>
> >
> > Die Aufgabe kommt mir bekannt vor.
>
> Mmh, glaube, die müßte so etwa 100 Leuten bekannt
> vorkommen...
>
> >
> > Fürs Skalarprodukt gilt doch:
> > [mm]\left\langle a,b \right\rangle = |a|*|b|*cos\alpha [/mm],
> wobei
> > alpha der Winkel zwischen den Vektoren ist.
> >
> > also für die Sache mit dem Gradienten:
> > [mm]||grad_{\gamma (0)} f ||*||\gamma '(0)|| * cos \alpha[/mm]
> für
> > alpha der eingeschlossene Winkel. Das bedeutet: Steht der
>
> > Gradient senkrecht zum Vektor v is der Winkel gleich 90°
>
> > und der cos ist 1, dann hättest du den fall der
> Gleichheit,
> > bzw. die linke seite wird maximal:
>
> Ist der Cosinus von 90° nicht gleich 0??? Das wäre auch
> sinnvoller, denn wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander
> stehen, ist das Skalarprodukt dieser gleich 0.
> Den größten Anstieg von f entlang [mm]\gamma[/mm] kann ich auch nur
> (anschaulich) haben, wenn ich f entlang [mm]\gamma[/mm] laufe, d.h.
> der Winkel zwischen beiden gleich 0° ist
Ja sicher, dickes sorry, hab da wohl Blackout gehabt. ich mein natürlich cos von 0°, also dass der Gradient in die gleiche Richtung wie v zeigt. *schämz*
Eigentlich bin ich ja nur aus versehen auf die 9 gekommen *lüg*
>
> >
> > [mm]||grad_{\gamma (0)} f ||*||\gamma '(0)|| * cos[/mm] 0° [mm]= ||grad_{\gamma (0)} f ||*||\gamma '(0)||[/mm]
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> >
>
> Gruß,
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Di 29.06.2004 | | Autor: | Wessel |
Lieber Micha,
0 und 9 liegen ja auch sehr dicht neben einander.
Grüße,
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