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Differentialquotient: Ansatzfindung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:21 So 11.01.2015
Autor: qwertz235

Aufgabe
Es sei [mm] D\subset \mathbb{R} [/mm] ein offenes Intervall und [mm] f:D\to \mathbb{R}, x_{0} \in [/mm] D.

a) Ist f in [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar, so gilt

[mm] f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}. [/mm]

b) Falls

[mm] a:=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h} [/mm]

existiert, so ist f in [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar und es ist [mm] f'(x_{0})=a. [/mm]

Guten Abend,
ich wäre sehr dankbar, wenn man mir bei dieser Aufgabe bei der Ansatzfindung helfen könnte. Ich weiß leider nicht genau, wie man das zeigen kann.

Viele Grüße
Alex

        
Bezug
Differentialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:41 Mo 12.01.2015
Autor: Fulla


> Es sei [mm]D\subset \mathbb{R}[/mm] ein offenes Intervall und [mm]f:D\to \mathbb{R}, x_{0} \in[/mm]
> D.

>

> a) Ist f in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar, so gilt

>

> [mm]f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}.[/mm]

>

> b) Falls

>

> [mm]a:=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}[/mm]

>

> existiert, so ist f in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar und es ist
> [mm]f'(x_{0})=a.[/mm]
> Guten Abend,
> ich wäre sehr dankbar, wenn man mir bei dieser Aufgabe bei
> der Ansatzfindung helfen könnte. Ich weiß leider nicht
> genau, wie man das zeigen kann.

>

> Viele Grüße
> Alex


Hallo Alex,

wie habt ihr denn "differenzierbar an der Stelle [mm]x_0[/mm]" definiert?

Ich denke die Aufgabe läuft darauf hinaus, dass du beim Differentialquotienten statt dem Intervall [mm][x_0;x_0+h][/mm] (mit Länge h) das Intervall [mm][x_0-h;x_0+h][/mm] (mit Länge 2h) verwenden sollst.

Da musst du dir die Definition hernehmen und ein bisschen rumbasteln... Schreib dir z.B. mal die Definition von [mm]f^\prime (x_0)=\lim_{h\to 0} f^\prime\left(x_0-\frac h2\right)[/mm] auf und ersetze später [mm]\frac h2[/mm] durch [mm]h[/mm] (wenn h gegen Null geht, ändert das ja nichts).


Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                
Bezug
Differentialquotient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 05:27 Mo 12.01.2015
Autor: fred97


> > Es sei [mm]D\subset \mathbb{R}[/mm] ein offenes Intervall und [mm]f:D\to \mathbb{R}, x_{0} \in[/mm]
>  
> > D.
>  >
>  > a) Ist f in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar, so gilt

>  >
>  > [mm]f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}.[/mm]

>  
> >
>  > b) Falls

>  >
>  > [mm]a:=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}[/mm]

>  
> >
>  > existiert, so ist f in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar und es ist

>  > [mm]f'(x_{0})=a.[/mm]

>  > Guten Abend,

>  > ich wäre sehr dankbar, wenn man mir bei dieser Aufgabe

> bei
>  > der Ansatzfindung helfen könnte. Ich weiß leider

> nicht
>  > genau, wie man das zeigen kann.

>  >
>  > Viele Grüße

>  > Alex

>  
>
> Hallo Alex,
>  
> wie habt ihr denn "differenzierbar an der Stelle [mm]x_0[/mm]"
> definiert?
>  
> Ich denke die Aufgabe läuft darauf hinaus, dass du beim
> Differentialquotienten statt dem Intervall [mm][x_0;x_0+h][/mm] (mit
> Länge h) das Intervall [mm][x_0-h;x_0+h][/mm] (mit Länge 2h)
> verwenden sollst.
>  
> Da musst du dir die Definition hernehmen und ein bisschen
> rumbasteln... Schreib dir z.B. mal die Definition von
> [mm]f^\prime (x_0)=\lim_{h\to 0} f^\prime\left(x_0-\frac h2\right)[/mm]
> auf und ersetze später [mm]\frac h2[/mm] durch [mm]h[/mm] (wenn h gegen Null
> geht, ändert das ja nichts).

Hallo Fulla,

f ist nur in [mm] x_0 [/mm] als differenzierbar vorausgesetzt, also wird  [mm] f^\prime\left(x_0-\frac h2\right) [/mm] i.a. nicht existieren !

FRED

>  
>
> Lieben Gruß,
>  Fulla


Bezug
        
Bezug
Differentialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:32 Mo 12.01.2015
Autor: DieAcht

Hallo Alex!


> Es sei [mm]D\subset \mathbb{R}[/mm] ein offenes Intervall und [mm]f:D\to \mathbb{R}, x_{0} \in[/mm]
> D.
>  
> a) Ist f in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar, so gilt
>  
> [mm]f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}.[/mm]

Wegen [mm] $f\$ [/mm] in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar ist

      [mm] f'(x_0):=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. [/mm]

Zu zeigen:

      [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\quad(=f'(x_0)). [/mm]

Tipp: Den Zähler mit einer *additive Null* [mm] (0=f(x_0)-f(x_0)) [/mm] "addieren".

> b) Falls
>
> [mm]a:=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}[/mm]
>
> existiert, so ist f in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar und es ist
> [mm]f'(x_{0})=a.[/mm]

Das ist eine Folgerung aus der ersten Teilaufgabe. (Warum?)


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Differentialquotient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 05:12 Mo 12.01.2015
Autor: Fulla

Hallo DieAcht,

das ist natürlich eleganter als mein Vorschlag...
Bei mir hat sich irgendwie eine "Verschiebung in x-Richtung" festgebrannt (mit der es auch funktioniert)...

Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                
Bezug
Differentialquotient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 Mo 12.01.2015
Autor: qwertz235

Hallo DieAcht,
leider hat mir dein Tipp mit der additiven Null noch nicht weitergeholfen. Ich weiß nicht, wie ich den Bruch damit so umformen kann, sodass ich den eigentlichen Differentialquotienten erhalte. Kann man [mm] f(x_{0}-h) [/mm] irgendwie umschreiben?

Viele Grüße
Alex

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Bezug
Differentialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:19 Mo 12.01.2015
Autor: DieAcht


> Hallo DieAcht,
> leider hat mir dein Tipp mit der additiven Null noch nicht
> weitergeholfen. Ich weiß nicht, wie ich den Bruch damit so
> umformen kann, sodass ich den eigentlichen
> Differentialquotienten erhalte. Kann man [mm]f(x_{0}-h)[/mm]
> irgendwie umschreiben?

Zeige uns doch deine Rechnung. Im Allgemeinen ist

      [mm] \frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}. [/mm]

Bezug
                                
Bezug
Differentialquotient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 Mo 12.01.2015
Autor: qwertz235

Es ist

[mm] f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h} [/mm]

= [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)+f(x_{0})-f(x_{0})}{2h} [/mm]

= [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{2h} [/mm] - [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{2h}. [/mm]

An dieser Stelle weiß ich im Moment nicht weiter.

Bezug
                                        
Bezug
Differentialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:14 Mo 12.01.2015
Autor: DieAcht


> Es ist
>  
> [mm]f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}[/mm]
>  
> = [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)+f(x_{0})-f(x_{0})}{2h}[/mm]
>  
> = [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{2h}[/mm] -
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{2h}.[/mm]
>  
> An dieser Stelle weiß ich im Moment nicht weiter.  

Den ersten Grenzwert solltest du erkennen. Für den zweite Grenz-
wert behaupte ich, dass du [mm] $h\$ [/mm] mit [mm] $-h\$ [/mm] ersetzen darfst (Begründe!).

Bezug
                                                
Bezug
Differentialquotient: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:27 Mo 12.01.2015
Autor: qwertz235

Ich nehme mal an, da h gegen 0 strebt und f auf einem offenen Intervall definiert ist. Daher gibt es zu jedem [mm] x_{0} [/mm] im Definitionsbereich von f eine "h-Umgebung", die wieder ganz im Definitionsbereich liegt. Somit ist es egal, ob man das h addiert oder subtrahiert, die Funktion ist auf jeden Fall an dieser Stelle definiert. Wäre das so richtig?

Bezug
                                                        
Bezug
Differentialquotient: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Mo 12.01.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Differentialquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:33 Mo 12.01.2015
Autor: fred97


> Es sei [mm]D\subset \mathbb{R}[/mm] ein offenes Intervall und [mm]f:D\to \mathbb{R}, x_{0} \in[/mm]
> D.
>  
> a) Ist f in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar, so gilt
>  
> [mm]f'(x_{0})=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}.[/mm]
>  
> b) Falls
>
> [mm]a:=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}[/mm]
>
> existiert, so ist f in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar und es ist
> [mm]f'(x_{0})=a.[/mm]


Zu a) hat Acht schon das entscheidende gesagt.

Zu b) kann ich nur sagen, dass die zu beweisende Aussage nicht zu beweisen ist:

[mm] D=\IR, [/mm] f(x)=|x|, [mm] x_0=0. [/mm]


FRED

>  Guten Abend,
> ich wäre sehr dankbar, wenn man mir bei dieser Aufgabe bei
> der Ansatzfindung helfen könnte. Ich weiß leider nicht
> genau, wie man das zeigen kann.
>
> Viele Grüße
>  Alex


Bezug
        
Bezug
Differentialquotient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:12 Mo 12.01.2015
Autor: qwertz235

Vielen Dank euch dreien! Ich werde mich gleich nochmal an die Aufgabe mithilfe eurer Ansätze setzen.

Viele Grüße
Alex

Bezug
                
Bezug
Differentialquotient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:13 Mo 12.01.2015
Autor: qwertz235

...und wie es scheint, komme ich noch nicht so ganz mit der Frage-Antwort-Struktur dieses Forums zurecht.

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