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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f(x)=x^{3}-3x^{2}-x+4.
[/mm]
Bestimmen Sie f'(x) mithilfe des Differentialquotienten. |
[mm] f'(x)=\bruch{x^{3}-3x^{2}-x+4-(a^{3}-3a^{2}-a+4)}{x-a}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{x^{3}-3x^{2}-x-a^{3}+3a^{2}+a}{x-a}
[/mm]
Wie kann ich jetzt weiter rechnen? Wenn vereinfachen, wie?
Betste Grüße
kastenbrot
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> Gegeben ist die Funktion [mm]f(x)=x^{3}-3x^{2}-x+4.[/mm]
> Bestimmen Sie f'(x) mithilfe des Differentialquotienten.
> [mm]f'(x)=\bruch{x^{3}-3x^{2}-x+4-(a^{3}-3a^{2}-a+4)}{x-a}[/mm]
> [mm]f'(x)=\bruch{x^{3}-3x^{2}-x-a^{3}+3a^{2}+a}{x-a}[/mm]
Hallo,
Es ist
[mm] f'(a)=\lim_{x\to a}\bruch{x^{3}-3x^{2}-x+4-(a^{3}-3a^{2}-a+4)}{x-a}
[/mm]
>
> Wie kann ich jetzt weiter rechnen? Wenn vereinfachen, wie?
Jetzt mache eine Polynomdivision, nämlich berechne [mm] (x^{3}-3x^{2}-x-a^{3}+3a^{2}+a):(x-a)= [/mm] ...
Dann bist Du bei der Grenzwertbildung die Misere mit dem Nenner, welcher =0 ist, los.
Gruß v. Angela
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An Polynomdivision hatte ich auch schon gedacht, aber
da haperts bei mir. Wie kann ich diese Polynomdivision mit zwei unterschiedlichen Variablen durchführen?
Grüße
kastenbrot
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Hallo kastenbrot,
> An Polynomdivision hatte ich auch schon gedacht, aber
> da haperts bei mir. Wie kann ich diese Polynomdivision mit
> zwei unterschiedlichen Variablen durchführen?
Die PD geht nach der Variablen x!
Schaue also, wie oft x in [mm] x^3 [/mm] reinpasst usw.
Alternativ kannst du im Bruch des Differenzenquotienten ein bisschen umstellen:
Ich kopiere:
[mm] $\bruch{x^{3}-3x^{2}-x-a^{3}+3a^{2}+a}{x-a}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{\left(x^{3}-a^3\right)-3\cdot{}\left(x^{2}-a^2\right)-\left(x-a\right)}{x-a}$
[/mm]
Wenn du nun bedenkst, dass [mm] $(x^3-a^3)=(x-a)\cdot{}(x^2+ax+a^2)$ [/mm] ist, dann kannst du in den 3 Summanden im Zähler mal jeweils $(x-a)$ ausklammern ...
Das ist vllt. einfacher oder schneller als die PD ...
>
> Grüße
> kastenbrot
LG
schachuzipus
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