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| Aufgabe | Bringt man einen Körper mit der Temperatur T in einen Raum mit der konstanten Temperatur [mm] T_{0}, [/mm] so ist die momentane Änderungsrate von T proportional zur Differenz der Raumtemperatur [mm] T_{0} [/mm] un der Temperatur T des Körpers.
a) Saft mit einer Temperatur von 10 C° wird aus einem Kühlschrank genommen und in einen 25 C° warmen Raum gestellt. Stellen Sie einen Differenzialgleichung für die Safttemperatur auf. Welche Lösung hat die Gleichung, wenn die Proportionalitätskonstante 0,1 beträgt.
b) Saft mit einer Temperatur von 20 C° wird bei -5 C° Außenttemperatur auf den Balkon gestellt. Nach einer Viertelstunde ist die Safttemperatur auf 5 C° abegsunken. STellen Sie eine Diferenzialgleichung für die Safttemperatur auf. Wann ist die Safttemperatur auf 0 C° abgesunken (der Saft beginnt dann zu gefrieren, Newtons Gesetz gilt nicht mehr)? |
Mein Hauptproblem besteht in der Aufgabe a) eine Differentialgleichung aufzustellen. Da es etwas mit beschränktem Wachstum zu tun hat, müsste es vermutlich auf eine E-Funktion hinauslaufen.
Die allgemeine Gleichung lautet: f(x) = S - [mm] ce^{-kx}
[/mm]
da eine Differentialgleichung verlangt wird, müsste es somit irgendetwas der Form f'(x) = [mm] -k(ce^{-kx}) [/mm] sein.
Das c könnte meine Temperaturdifferenz sein, also 25-10 C°, somit 15 C°. Aber ich komme dann nicht mehr weiter :(((
Habt ihr eine Idee?
Vielen Dank schon mal :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 So 31.01.2016 | | Autor: | hippias |
Die Loesung ergibt sich aus den Begriffen momentane Aenderungsrate, proportional und Differenz.
Kennst Du ihre jeweilige Bedeutung? Kannst Du Terme bzw. Gleichungen aufstellen, die sie bedeuten?
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Nunja, die momentane Änderungsrate bestimmt man durch die Ableitung.
Somit f'(10) wäre dann die Temparaturveränderung nach 10 min bspw.
Und die Differenz wäre der Temperaturunterschied zwischen der Raumtemperatur und dem Saft.
Aber wie ich die Proportionalität verarbeite weiß ich leider nicht :(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 So 31.01.2016 | | Autor: | hippias |
Gut, soweit. Ich habe uebrigens den Status Deines Textes von "Frage" auf "Mitteilung" geaendert, da er keine Frage enthaelt.
> Nunja, die momentane Änderungsrate bestimmt man durch die
> Ableitung.
>
> Somit f'(10) wäre dann die Temparaturveränderung nach 10
> min bspw.
Benutze doch die Bezeichnungen aus der Aufgabenstellung: $T'$.
>
> Und die Differenz wäre der Temperaturunterschied zwischen
> der Raumtemperatur und dem Saft.
Koenntest Du bitte den entsprechenden Term mit den Bezeichnungen aus der Aufgabenstellung aufstellen?
>
> Aber wie ich die Proportionalität verarbeite weiß ich
> leider nicht :(
Schlage nach, was es bedeutet, dass zwei Groessen proportional sind.
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> Gut, soweit. Ich habe uebrigens den Status Deines Textes
> von "Frage" auf "Mitteilung" geaendert, da er keine Frage
> enthaelt.
>
> > Nunja, die momentane Änderungsrate bestimmt man durch die
> > Ableitung.
> >
> > Somit f'(10) wäre dann die Temparaturveränderung nach 10
> > min bspw.
> Benutze doch die Bezeichnungen aus der Aufgabenstellung:
> [mm]T'[/mm].
>
> >
> > Und die Differenz wäre der Temperaturunterschied zwischen
> > der Raumtemperatur und dem Saft.
> Koenntest Du bitte den entsprechenden Term mit den
> Bezeichnungen aus der Aufgabenstellung aufstellen?
>
> >
> > Aber wie ich die Proportionalität verarbeite weiß ich
> > leider nicht :(
> Schlage nach, was es bedeutet, dass zwei Groessen
> proportional sind.
Nunja, da steht, dass zwei Größen die proportional zueinander sind einer konstanten Zahl entsprechen.
Quasi wenn x ~ y, dann x/y = c
So, da die änderungsrate proportional zur Temperaturdifferenz ist, wäre das dann
f'(x) / T - [mm] T_{0}= [/mm] c also f'(x) / 15 = c
das könnte ich nun nach f'(x) auflösen und würde f'(x) = 15 c erhalten.
Stimmt das?
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Hiho,
> Nunja, da steht, dass zwei Größen die proportional
> zueinander sind einer konstanten Zahl entsprechen.
>
> Quasi wenn x ~ y, dann x/y = c
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> So, da die änderungsrate proportional zur
> Temperaturdifferenz ist, wäre das dann
>
> f'(x) / T - [mm]T_{0}= c[/mm]
Was soll f' sein?
Du solltest dir eine saubere Notation angewöhnen: Hippias sagte dir doch bereits, dass die Änderung der Temperatur T dann T' ist.
Ist dir klar, dass T kein fester Wert, sondern eine Funktion in der Zeit ist? Um dir das klar zu machen, solltest du erstmal T(t) schreiben.
Es gilt also: $T'(t) [mm] \sim [/mm] T(t) - [mm] T_0$
[/mm]
bzw wenn p die Proportionalitätskonstante ist: $T'(t) = p*(T(t) - [mm] T_0)$
[/mm]
Nun löse diese Differenzialgleichung mit den gegebenen Werten aus Aufgabe a) mal konkret.
Gruß,
Gono
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> Hiho,
>
> > Nunja, da steht, dass zwei Größen die proportional
> > zueinander sind einer konstanten Zahl entsprechen.
> >
> > Quasi wenn x ~ y, dann x/y = c
>
>
> > So, da die änderungsrate proportional zur
> > Temperaturdifferenz ist, wäre das dann
> >
> > f'(x) / T - [mm]T_{0}= c[/mm]
>
> Was soll f' sein?
> Du solltest dir eine saubere Notation angewöhnen: Hippias
> sagte dir doch bereits, dass die Änderung der Temperatur T
> dann T' ist.
> Ist dir klar, dass T kein fester Wert, sondern eine
> Funktion in der Zeit ist? Um dir das klar zu machen,
> solltest du erstmal T(t) schreiben.
>
> Es gilt also: [mm]T'(t) \sim T(t) - T_0[/mm]
> bzw wenn p die
> Proportionalitätskonstante ist: [mm]T'(t) = p*(T(t) - T_0)[/mm]
>
> Nun löse diese Differenzialgleichung mit den gegebenen
> Werten aus Aufgabe a) mal konkret.
>
> Gruß,
> Gono
Hallo,
erstmal vielen Dank :)
Also bei T'(t) = p*(T(t) - [mm] T_0) [/mm] ist [mm] T_{0} [/mm] dann auf alle Fälle 10 C°.
Somit T'(t) = p*(T(t) - 10) aber da T(t) mir immer die jeweilige Temperatur zu einer bestimmten Zeit angibt, muss ich sie so allgemein stehen lassen.
Mein Problem ist nun noch, dass ich nicht weiß, was ich mit den 25 C° mahen soll. Im Grunde sind sie meine Schranke, denn der Saft kann nicht wärmer als 25 C° werden... achso oder kann ich dann als meine allgemeine Funktion T(t) schreiben T(t) = 25 - [mm] ce^{-kt} [/mm] und da c = S - [mm] T_0 [/mm] ist könnte ich hierfür noch 15 einsetzen?!
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Hiho,
> Also bei T'(t) = p*(T(t) - [mm]T_0)[/mm] ist [mm]T_{0}[/mm] dann auf alle Fälle 10 C°.
"auf alle Fälle".... so so.
Nur leider ist das auf alle Fälle falsch.
Lies die Aufgabenstellungen sorgfältiger!
> Mein Problem ist nun noch, dass ich nicht weiß, was ich
> mit den 25 C° mahen soll. Im Grunde sind sie meine
> Schranke, denn der Saft kann nicht wärmer als 25 C°
> werden... achso oder kann ich dann als meine allgemeine
> Funktion T(t) schreiben T(t) = 25 - [mm]ce^{-kt}[/mm] und da c = S -
> [mm]T_0[/mm] ist könnte ich hierfür noch 15 einsetzen?!
Das ist Blödsinn. Es steht nirgends, dass T(t) diese Form haben soll.
Wo deine Raumtemperatur korrekterweise eingeht, ergibt sich aus obigem Hinweis: Aufgabenstellung korrekt lesen!!
> Somit T'(t) = p*(T(t) - 10) aber da T(t) mir immer die
> jeweilige Temperatur zu einer bestimmten Zeit angibt, muss
> ich sie so allgemein stehen lassen.
Das ist falsch!
Das ist eine Differentialgleichung erster Ordnung, die sollst du jetzt lösen.
Darum geht es in der Aufgabe!
Also:
1.) Korrigiere die Sache mit [mm] T_0
[/mm]
2.) Löse die entstehende Differentialgleichung
Gruß,
Gono
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> Hiho,
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> > Also bei T'(t) = p*(T(t) - [mm]T_0)[/mm] ist [mm]T_{0}[/mm] dann auf alle
> Fälle 10 C°.
>
> "auf alle Fälle".... so so.
> Nur leider ist das auf alle Fälle falsch.
>
> Lies die Aufgabenstellungen sorgfältiger!
>
> > Mein Problem ist nun noch, dass ich nicht weiß, was ich
> > mit den 25 C° mahen soll. Im Grunde sind sie meine
> > Schranke, denn der Saft kann nicht wärmer als 25 C°
> > werden... achso oder kann ich dann als meine allgemeine
> > Funktion T(t) schreiben T(t) = 25 - [mm]ce^{-kt}[/mm] und da c = S -
> > [mm]T_0[/mm] ist könnte ich hierfür noch 15 einsetzen?!
>
> Das ist Blödsinn. Es steht nirgends, dass T(t) diese Form
> haben soll.
> Wo deine Raumtemperatur korrekterweise eingeht, ergibt sich
> aus obigem Hinweis: Aufgabenstellung korrekt lesen!!
>
> > Somit T'(t) = p*(T(t) - 10) aber da T(t) mir immer die
> > jeweilige Temperatur zu einer bestimmten Zeit angibt, muss
> > ich sie so allgemein stehen lassen.
>
> Das ist falsch!
> Das ist eine Differentialgleichung erster Ordnung, die
> sollst du jetzt lösen.
> Darum geht es in der Aufgabe!
>
> Also:
> 1.) Korrigiere die Sache mit [mm]T_0[/mm]
> 2.) Löse die entstehende Differentialgleichung
>
> Gruß,
> Gono
Achso, [mm] T_0 [/mm] ist natürlich die Raumtemperatur (25 C°), ich weiß auch nicht weshalb ich die Safttemperatur genommen habe :(
Die zu lösende Diferentialgleichung wäre dann:
T'(t) = p*(T(t) - 25) bzw. glaube ich, dass sie eher T'(t) = p*(25 - (T(t)) ist oder?
kann ich nun sagen, dass dies da es eine Differenzialgleichung für beschränktes Wachstum ist dann meine Parameter k = p und S = 25 sind.
Somit T(t) = S - [mm] ce^{-kt} [/mm] => T(t) = 25 - [mm] ce^{-pt}
[/mm]
Da T(0) = 10 ergibt 0 = 25 - c, dass c = 25
wodurch meine Funktion T(t) = 25 - [mm] 25e^{-pt} [/mm] wäre?!
Die Proportionalitätskonstante kann ich irgendwie nicht genauer bestimmen, fehlen mir dazu noch irgendwelche Angaben?
Denn in dem weiteren Aufgabenteil wird sie mir dann auch einfach angegeben.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Mo 01.02.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh dir deine Konstante noch mal an! was musst du denn für T(0) einsetzen? doch nicht 0
bitte arbeite etwas langsamer und sorgfältiger!
die Proportionalitätskonstante bleibt einfach p.
Gruß leduart
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Achso, T(0) = 10, daher ist dann meine Gleichung natürlich 10 = 25 - c => c = 15, wodurch meine Funktion dann T(t) = 25 - [mm] 15e^{-pt} [/mm] wäre, oder?
Ja, da waren wirklich viele doofe Fehler von mir dabei, die nur passieren konnten, weil ich mich immer gleich versuche auf das Ergebnis zu stürzen, wenn ich 1-2 Schritte verstanden habe :( Ich muss lernen langsamer und vor allem sorgfältiger zu arbeiten.
Vielen Dank! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:38 Di 02.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Achso, T(0) = 10, daher ist dann meine Gleichung natürlich
> 10 = 25 - c => c = 15, wodurch meine Funktion dann T(t) =
> 25 - [mm]15e^{-pt}[/mm] wäre, oder?
Ja
FRED
>
> Ja, da waren wirklich viele doofe Fehler von mir dabei, die
> nur passieren konnten, weil ich mich immer gleich versuche
> auf das Ergebnis zu stürzen, wenn ich 1-2 Schritte
> verstanden habe :( Ich muss lernen langsamer und vor allem
> sorgfältiger zu arbeiten.
>
> Vielen Dank! :)
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Wenn meine Funktion nun T(t) = 25 - [mm] 15e^{-pt} [/mm] ist, muss ich dann im zweiten Aufgabenteil der a) nur 0,1 für p einsetzen und wäre fertig?
Bzw. in meine Differenzialgleichung p = 0,1 einsetzen?
T'(t) = 0,1 (25 - T(t)) bzw. T(t) = 25 - [mm] 15e^{-0,1t}?
[/mm]
Bzgl. der Aufgabe b) habe ich das so gelöst:
Hier ist mein [mm] T_0 [/mm] = -5 und der Saft (also T(0)) = 20. Ich habe noch eine weitere Angabe, wonach der Saft nach einer Viertelstunde 5 C° besitzt, was ich als T(15) = 5 beschreiben würde.
Nun würde ich es zuerst mal wie bei der a) machen...
T'(t) = p (-5 - T(t)) => S = -5
T(t) = S - [mm] ce^{-pt} [/mm] => T(t) = -5 - [mm] ce^{-pt} [/mm] und da T(0) = 5 ist, folgt 5 = -5 - c wodurch c = -10 ist.
Somit ist T(t) = -5 [mm] +10e^{-pt} [/mm] nun habe ich die T(15) = 5 verwendet, also
5 = -5 + [mm] 10e^{-15p} [/mm] und erhalte dann aber für p 0 als Ergebnis?!
(Ich habe die Gleichung folgendermaßen aufgelöst:
10 = [mm] 10e^{-15p} [/mm] /:10
1 = [mm] e^{-15p} [/mm] / ln
0 = -15p => p = 0???
Wo liegt mein Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Di 02.02.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieder Text nicht richtig gelesen. Was ist denn wirklich T(0)?
Gruß ledum
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Ach klar, ich habe es oben noch richtig geschrieben :(
Also wenn T(0) = 20:
T'(t) = p (-5 - T(t)) => S = -5
T(t) = S - [mm] ce^{-pt} [/mm] => T(t) = -5 - [mm] ce^{-pt} [/mm] und da T(0) = 20 ist, folgt 20 = -5 - c wodurch c = -25 ist.
Somit ist T(t) = -5 [mm] +25e^{-pt} [/mm] nun habe ich die T(15) = 5 verwendet, also
5 = -5 + [mm] 25e^{-15p} [/mm] und erhalte nun für p = 0,06 als Ergebnis?!
Ist das soweit richtig? Ist auch der Aufgabenteil a) vollständig gelöst, so wie ich das gemacht habe?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Di 02.02.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) welches ist nun die richtige DGL?
musst du die nicht lösen sondern einfach eine auswendig gelernte Formel einsetzen?
die Lösung ist sonst richtig.
zu b) ich muss immer hin und her gehen um deine aufgabe zu sehen, du hast die auf deinem Zettel. also schreib zu den Losungen die Aufgabe.
der Rechenweg ist richtig, TR nachrechnen muss nicht ein Helfer! setz dein Ergebnis zur Probe ein!. und arbeite langsamer es ist lästig statt u helfen nur Flüchtigkeitsfehler zu verbessern.
Gruß leduart
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