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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Sa 10.01.2004 | | Autor: | Logan |
Hallo Matheraum Team
Wie gehts denn so?Hier hat sich ja was verändert. Ein paar Funktionen sind dazu gekommen und das Design hat sich auch ein bißchen verändert. Sieht gut aus. Mein Kopliment. Klasse hier.
Schreibe am Montag eine Mathearbeit und brauch wieder ein bißchen Hilfe.
Frage 1. :
Ich hab die Funktion [mm]f(x)= (2x+3)(1-x²)^4[/mm]
Erste Ableitung ist [mm] f'(x)= 2(1-x²)^4+(2x+3)*4(1-x²)^3*(-2x) [/mm]
Muss ich da jetzt noch alles ausmultiplizieren?
Wenn ja dann kommt ne echt krasse Funktion raus.
Frage 2. :
Ich hab die Funktion f(x)=sin x * cos (2x)
Die erste Ableitung lautet f'(x)= cos x * cos (2x) + sin x (-sin (2x) * 2)
Kann ich da noch was zusammenfassen?
Frage 3. :
Ich hab die Funktion f(x)= [mm] \frac{1}{x²+1} [/mm]
Die erste Ableitung lautet [mm] f'(x)= - \frac{1}{(x²+1)²} [/mm]
Die zweitef''(x)= [mm] \frac{2(x²+1)² - 2x (2(x²+1))2x}{(x²+1)^4} [/mm]
Kann ich (x²+1) irgendwo weg kürzen?
So haben wir das auf jeden Fall in der Schule gemacht.
Aber wieso geht das? Sonst ist das ja auch nicht möglich, da auch in dem Bruch auch Addition und Subtraktion enthalten ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Sa 10.01.2004 | | Autor: | Youri |
Hallo Logan -
ich versuch' es mal mit einer Teilantwort zu Pkt 1 + 3 -
Beide Fragen haben mit AUSKLAMMERN zu tun...
Zu Frage 1:
Die Ableitung der Funktion ist Dir gelungen.
Wenn Du jetzt alles ausmultiplizierst, wird es tatsächlich ziemlich unübersichtlich.
Ich würde Dir empfehlen, gemeinsame Faktoren auszuklammern, damit Du ggfs. auch noch weitere Ableitungen relativ schnell ermitteln kannst.
Also - Dein Term lautet:
[mm] f'(x) = 2(1-x²)^4 + (2x+3)*4(1-x²)^3*(-2x) [/mm]
Wie Du bestimmt siehst kommt der Faktor [mm] (1-x²)^3 [/mm]
in beiden Summanden vor.
Etwas umsortiert ergibt sich:
[mm] f'(x) = (1-x²)^3*2(1-x²) + (1-x²)^3(2x+3)*4*(-2x) [/mm]
Jetzt kannst Du den gemeinsamen Faktor ausklammern:
[mm] f'(x) = (1-x²)^3*(2(1-x²) + (2x+3)*4*(-2x)) [/mm]
Mal sehen, was passiert, wenn man den zweiten Faktor in der Klammer ausmultipliziert:
[mm] f'(x) = (1-x²)^3*(2-2x²-16x²-24x)) [/mm]
[mm] f'(x) = (1-x²)^3*(-18x²-24x+2)) [/mm]
Ist jetzt zwar auch nicht so richtig schön, aber ein wenig
übersichtlicher.
Zu Deiner 3.Frage:
(Ich vertraue jetzt Deinen Rechenschritten)
[mm] f''(x)= \frac{2(x²+1)² - 2x (2(x²+1))2x}{(x²+1)^4} [/mm]
Schau Dir den Bruch mal genau an; wie Du schon richtig bemerkt hast, steht im Zähler eine Summe - Du darfst also nicht "einfach so" kürzen.
Du mußt die einzelnen Summanden im Zähler auf gemeinsame Faktoren untersuchen.
Der Ausdruck [mm] (x²+1) [/mm] tritt sowohl im ersten Summanden des Zählers als Faktor auf, als auch im zweiten. Im Nenner ist er leicht als Faktor zu identifizieren -
Kannst Du den Ausdruck im Zähler so ausklammern (als Faktor vorziehen),
dass die Möglichkeit des Kürzens offensichtlich wird?
Da ich mir hier im Matheraum wegen der Schreibweise noch recht unsicher bin, hoffe ich, Du kannst trotzdem etwas mit meinem Geschreibsel
anfangen.
Erstmal bis hierhin - und ich bin annähernd sicher, dass gleich Profis zur Hilfe eilen. 
Lieben Gruß,
Andrea.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Sa 10.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
da Youri dich nicht kennt, weiß sie nicht, dass man dir auf keinen Fall bei den Ableitungen vertrauen darf 
Zur dritten Frage:
[mm] f(x)= \frac{1}{x²+1} [/mm]
Du schreibst:
> Die erste Ableitung lautet [mm] f'(x)= - \frac{1}{(x²+1)²} [/mm]
> Die zweite [mm] f''(x)= \frac{2(x²+1)² - 2x (2(x²+1))2x}{(x²+1)^4} [/mm]
Da stimmt die erste Ableitung nicht, die zweite ist dann bis auf einen Vorzeichenfehler (komischerweise) wieder richtig.
Nach der Quotientenregel ist:
[mm] f'(x) = { 0*(x^2+1) - 1*2x \over (x^2 + 1)^2}[/mm][mm] = { - 2x \over (x^2 + 1)^2} [/mm][mm] = -{ 2x \over (x^2 + 1)^2} [/mm]
Die zweite Ableitung lautet dann:
[mm] f''(x) = -{ 2*(x^2+1)^2 -2x*2*(x^2+1)*2x \over (x^2+1)^4 } [/mm]
also bis auf das führende Minuszeichen genau deine Ableitung; Youri's Ausführungen gelten also weiterhin.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Sa 10.01.2004 | | Autor: | Logan |
Tach Marc.
Hey meine Ableitungen sind doch nicht so oft falsch.
Stimmt war nur ein schreibfehler bei der ersten Ableitung.
Kann ich aber nicht bei der zweiten Ableitung nicht noch kürzen z.B. die (x²+1)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Sa 10.01.2004 | | Autor: | Logan |
Stimmt war nur ein bißchen verwiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Sa 10.01.2004 | | Autor: | Logan |
Ok bis dann und danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Sa 10.01.2004 | | Autor: | Logan |
Danke Yuri. Dein Term den du su meiner ersten Frage erstellt hast ist auf jeden Fall wesentlich übersichtlicher und einfacher als meiner.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Sa 10.01.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Logan,
dann noch zur zweiten Frage.
Ein bißchen vereinfachen kann man schon noch, allerdings sehe ich das auch erst mit einer Formelsammlung.
Es gilt nämlich: [mm] \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha [/mm] und [mm] \cos 2\alpha = 1-2\sin^2\alpha [/mm]
Also ergibt sich für die erste Ableitung:
[mm] f'(x) = \cos x * \cos 2x -2* \sin x*2\sin x *\cos x [/mm]
[mm] = \cos x * ( \cos 2x -4* \sin^2 x) [/mm]
[mm] = \cos x * ( 1-2\sin^2 x -4\sin^2 x)) [/mm]
[mm] = \cos x * ( 1-6\sin^2 x) [/mm]
Ist das nicht schön?
Ich denke aber, dass die Umformungen hier in keinem Verhältnis zu dem eigentlich zu lernenden Stoff stehen, also dem Differenzieren, so dass du auch auf diese "Vereinfachungen" verzichten kannst. Augenfällige Vereinfachungsmöglichkeiten solltest du aber natürlich weiterhin wahrnehmen.
Viele Grüße,
Marc.
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