Differentialrechnung/ Extremwertaufgaben < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Sa 07.08.2004 | | Autor: | bionda |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt
Ich bin sooooo verzweifelt. Die Schule hat gerade erst begonnen und ich scheitere schon an der ersten Hausaufgabe. Angeblich handelt es sich hierbei um eine Wiederholung, doch ich habe das Gefühl soetwas noch nie gerechnet zu haben..... HILFE! Vielleicht kann mir ja jemand irgendwie helfen. Ich wäre sehr, sehr dankbar.
Also, es handelt sich bei der Hausaufgabe um folgendes:
Ein Rechteck mit größtmöglichsten Umfangs soll in einen Kreis passen. (Dass es sich wahrscheinlich um ein Quadrat handelt, glaube ich schon herausgefunden zu haben)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Sa 07.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Bionda.
Normalerweise bekommt man bei einer Extremwertaufgabe ja 2 Werte: den zu verändernden Wert und den zu optimierenden.
Betrachten wir einen Kreis, dessen MIttelpunkt der Ursprung des kartesischen Koordinatensystemes ist. Jedes in diesem Kreis einbeschriebene Quadrat besitzt in jedem Quadranten einen Eckpunkt. Betrachten wir den Eckpunkt im ersten Quadranten. Seine Abszisse, Ordinate und Strecke zum Kreismittelpunkt bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Den am Mittelpunkt liegenden Winkel bezeichne ich mit [mm]\varphi[/mm]. Dieser wird unsere Veränderliche.
Für die Summe [mm]U_s[/mm] beider senkrechten Seiten des Rechteckes gilt nun
[mm]U_s=4\cdot sin(\varphi)\cdot r[/mm]
Für die waagerechten Strecken, deren Summe wir mit [mm]U_w[/mm] bezeichnen, gilt:
[mm]U_w=4\cdot cos(\varphi)\cdot r[/mm].
Für den Umfang ergibt sich also:
[mm]f: u=4\cdot r(sin(\varphi)+cos(\varphi))[/mm]
Leiten wir ab, so erhalten wir:
[mm]f'=\frac{du}{d\varphi}\left(4\cdot r(sin(\varphi)+cos(\varphi))\right)=\left(4\cdot r(cos(\varphi)-sin(\varphi))\right)[/mm]
Setzen wir diese Ableitung gleich Null, so erhalten wir:
[mm]4\cdot r(cos(\varphi)-sin(\varphi))=0[/mm]
[mm]\gdw cos(\varphi)-sin(\varphi)=0[/mm]
[mm]\gdw cos(\varphi)=sin(\varphi)[/mm]
[mm]\gdw sin(\varphi+\frac{\pi}{2})=sin(\varphi)[/mm]
[mm]\gdw sin(\frac{\pi}{2}-\varphi)=sin(\varphi)[/mm]
[mm]\gdw \frac{\pi}{2}-\varphi=\varphi[/mm]
[mm]\gdw \varphi=\frac{\pi}{4}[/mm]
Aus
[mm]f''=\frac{du^2}{d\varphi^2}\left(4\cdot r(sin(\varphi)+cos(\varphi))\right)=4\cdot r(-sin(\varphi)-cos(\varphi))[/mm] und Einsetzen von [mm]\varphi=\frac{\pi}{4}[/mm]
erhält man [mm]4r(-1-0)=-4r<0[/mm], da o.B.d.A. [mm]r\in \IN[/mm].
Damit ist auch noch rein formell bestätigt, dass das gesuchte Rechteck ein Quadrat ist.
Gruß,
Hanno
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