Differentiation < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Do 20.01.2011 | | Autor: | Lilium |
| Aufgabe | Beweisen Sie: Eine Funktion f sei n -mal stetig differenzierbar in einem Intervall I (n [mm] \ge [/mm] 2)
mit [mm] f^{(i)} (x_0) [/mm] = 0 (i = 1, . . . , n − 1) und [mm] f^{(n)}(x_0) \not= [/mm] 0 , wobei [mm] x_0 \in [/mm] I . Dann gilt:
a) Falls n ungerade ist, besitzt f in [mm] x_0 [/mm] einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
b) Falls n gerade ist und [mm] f^{(n)} (x_0) [/mm] > (<) 0 , so liegt bei [mm] x_0 [/mm] ein lokales Minimum (Maximum)
von f . |
Hallihallo ihr Lieben,
ich verstehe leider diese Aufgabe nicht. Wie muss ich da ran gehen? Meine Idee wäre is mit Induktion zu versuchen. Aber kann ich damit überhaupt arbeiten? Wenn ja, wie beginne ich konkret? Kann ich einfach ein [mm] f(x)=x^{2n+1} [/mm] als ungerade Funktion nehmen und davon die zweite Ableitung null setzen?
Ich bin schon lange am Überlegen und komme einfach zu keinen Ergebissen. Jeder Tipp ist hilfreich!
Danke schonmal!
Viele liebe Grüße,
Lilium
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Do 20.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
Satz von Taylor.
$f(x) = [mm] T_{n-1}(x) [/mm] + [mm] R_n(x)$,
[/mm]
wobei
[mm] T_{n-1}(x) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{n-1} {f^{(i)}(x_0) \over i!}(x-x_0)^i
[/mm]
und
[mm] R_{n}(x) [/mm] = [mm] \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-x_0)^{n} [/mm]
Dabei ist [mm] \xi [/mm] zwischen x und [mm] x_0
[/mm]
Ist $ [mm] f^{(n)} (x_0) [/mm] $ > (<) 0, so wähle x so nahe bei [mm] x_0, [/mm] dass gilt: $ [mm] f^{(n)} [/mm] (t) $ > (<) 0 für alle t zwischen x und [mm] x_0
[/mm]
Das geht, weil f n -mal stetig differenzierbar ist. Dann gilt auch:
$ [mm] f^{(n)} (\xi) [/mm] $ > (<) 0
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:57 Do 20.01.2011 | | Autor: | Lilium |
Hallo,
wow, vielen Dank für die schnelle antwort 
> [mm]f(x) = T_{n-1}(x) + R_n(x)[/mm],
>
> wobei
>
> [mm]T_{n-1}(x)[/mm] = [mm]\sum_{i=0}^{n-1} {f^{(i)}(x_0) \over i!}(x-x_0)^i[/mm]
>
> und
>
> [mm]R_{n}(x)[/mm] = [mm]\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-x_0)^{n}[/mm]
>
> Dabei ist [mm]\xi[/mm] zwischen x und [mm]x_0[/mm]
Bis hierhin verstehe ich das. Taylor und Lagrage-Restgleid hatten wir in der letzten Vorlesung. Aber der Teil der jetzt kommt ist mit nicht ganz klar.
> Ist [mm]f^{(n)} (x_0)[/mm] > (<) 0, so wähle x so nahe bei [mm]x_0,[/mm]
> dass gilt: [mm]f^{(n)} (t)[/mm] > (<) 0 für alle t zwischen x und
> [mm]x_0[/mm]
wie ist das gemeint mit dem "nahe wählen"? Wozu macht man das?
> Das geht, weil f n -mal stetig differenzierbar ist. Dann
> gilt auch:
>
> [mm]f^{(n)} (\xi)[/mm] > (<) 0
die frage ist jetzt vielleicht komisch, aber: was hab ich damit jetzt gezeigt?? mir ist der schluss leider nicht klar..
Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank und liebe Grüße
Lilium
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Fr 21.01.2011 | | Autor: | Lilium |
Hallo ihr Lieben!
Ich habe den Beweis bei b mittlerweile eingetlich verstanden (ich kann die andere Frage aber leider nicht grün machen, ich finde das nicht, wie das geht ...), ich habe im Buch weitergelesen  ; so wie Fred es gemacht hat, so verstehe ich das auch. Aber wo benutzte ich den die Tatsache, dass n gerade ist, so wie es in der Aufgabe steht? Dazu steht im Buch nichts... Hat jemand eine Idee, worin das enthalten ist?
Bei a muss ich ja zeigen, dass wenn n ungerade ist, dass dann bei [mm] x_0 [/mm] ein Wendepunkt ist und dass die Tangente an der Stelle Null ist. Muss ich das auch so ähnlich machen wie bei b? ich habe ja wieder mit Taylor:
[mm] f(x)=T_{n-2}(x)+T_{n-1}(x)+R_{n}(x)
[/mm]
die erste und zweite ableitung soll null sein und die dritte nicht.
Also vielleicht:
[mm] T_{n-2}(x)=0 [/mm] und [mm] T_{n-1}(x)=0 [/mm] und [mm] R_{n}(x)\not=0.
[/mm]
Kann ich [mm] \xi [/mm] wieder irgendwie so wählen, dass das gilt? aber wie mache ich das mit n ungerade?
Ergänzung:
Wenn [mm] T_{n-2}(x)=0 [/mm] und [mm] T_{n-1}(x)=0 [/mm] und [mm] R_{n}(x)\not=0, [/mm] dann hab ich doch:
[mm] f(x)=R_{n}(x)
[/mm]
und [mm] R_{n}(x) [/mm] ist doch, wie in b, >0 oder <0, je nachdem, wie ich [mm] \xi [/mm] wähle, oder? auf jeden fall wäre es dann ungleich 0. Was haltet ihr davon? Und wie ist das mit dem "n ist ungerade"?
Kann mir jemand helfen? Eine Idee oder einen Tipp vielleicht??
Vielen Dank und liebe Grüße
Lilium
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Fr 21.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Es war
$ [mm] R_{n}(x) [/mm] $ = $ [mm] \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-x_0)^{n} [/mm] $
Ist z.B. [mm] f^{(n)}(x_0)>0, [/mm] so ist auch [mm] f^{(n)}(\xi)>0 [/mm]
Wenn n gerade ist, dann ist [mm] (x-x_0)^{n} \ge [/mm] 0 und damit [mm] R_{n}(x) \ge [/mm] 0
Etc ...
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Fr 21.01.2011 | | Autor: | Lilium |
Oh, mist, da hab ich wohl gepennt oder einfach zu lange draufgeguckt. Vielen Dank!
Und geht das, wie ich es für a machen würde? ist das vom gedanken her ok so? Oder muss/kann ich das noch irgendwie anders machen?
Vielen Dank und liebe Grüße
Lilium
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Fr 21.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Lilium!
> Oh, mist, da hab ich wohl gepennt oder einfach zu lange
> draufgeguckt. Vielen Dank!
>
> Und geht das, wie ich es für a machen würde? ist das vom
> gedanken her ok so? Oder muss/kann ich das noch irgendwie
> anders machen?
Für n ungerade geht es fast genauso; der einzige Unterschied ist, dass
[mm] (x-x_0)^n = \begin{cases} >0, & x>x_0 \\ <0, & x
ist, also bei [mm] $x=x_0$ [/mm] das Vorzeichen wechselt.
Jetzt musst du dir nur noch überlegen, dass das ein Wendepunkt ist.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Lilium |
Ok, verstanden ^^ danke!
Ich hab noch ein ekurze Frage zum Skript, ich hab da was nicht ganz verstanden (und ich wollte das noch in die Aufgabe schreiben).
Es steht da:
[mm] f(x)=T_{n-1}+\bruch{f^{n}(\xi)}{n!}(x-a)^n
[/mm]
und darunter steht und [mm] \xi [/mm] in der Nähe von a. Es folgt, dass [mm] \phi^n(\xi)>0 [/mm] falls x nah genug bei a dadurch ist f(a)<f(x) --> lok. Min bei a
aber jetzt frage ich mich, wann denn [mm] \phi^n(\xi)<0 [/mm] ist. Wenn [mm] \xi [/mm] weiter weg ist von a? Denn wenn ich für mein [mm] (x-x_0)^n [/mm] diese drei Fälle (für die zweite abletung) habe, dann muss ich ja auch wissen, wie [mm] \phi^n(\xi) [/mm] aussieht, damit ich eine aussage über das vorzeichen machen kann. Ich weiß also nicht so recht wann [mm] \phi^n(\xi) [/mm] größer und wann kleiner als Null ist. Kann mir jemand helfen?
Dankeschön!
Lilium
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Sa 22.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok, verstanden ^^ danke!
> Ich hab noch ein ekurze Frage zum Skript, ich hab da was
> nicht ganz verstanden (und ich wollte das noch in die
> Aufgabe schreiben).
> Es steht da:
> [mm]f(x)=T_{n-1}+\bruch{f^{n}(\xi)}{n!}(x-a)^n[/mm]
> und darunter steht und [mm]\xi[/mm] in der Nähe von a. Es folgt,
> dass [mm]\phi^n(\xi)>0[/mm] falls x nah genug bei a dadurch ist
> f(a)<f(x) --> lok. Min bei a
>
> aber jetzt frage ich mich, wann denn [mm]\phi^n(\xi)<0[/mm] ist.
> Wenn [mm]\xi[/mm] weiter weg ist von a? Denn wenn ich für mein
> [mm](x-x_0)^n[/mm] diese drei Fälle (für die zweite abletung)
> habe, dann muss ich ja auch wissen, wie [mm]\phi^n(\xi)[/mm]
> aussieht, damit ich eine aussage über das vorzeichen
> machen kann. Ich weiß also nicht so recht wann [mm]\phi^n(\xi)[/mm]
> größer und wann kleiner als Null ist. Kann mir jemand
> helfen?
>
> Dankeschön!
> Lilium
Ich gehe davon aus, dass Du mit [mm] \phi [/mm] die Funktion f meinst.
Ich hab Dir doch oben geschrieben:
"Ist $ [mm] f^{(n)} (x_0) [/mm] $ > (<) 0, so wähle x so nahe bei $ [mm] x_0, [/mm] $ dass gilt: $ [mm] f^{(n)} [/mm] (t) $ > (<) 0 für alle t zwischen x und $ [mm] x_0 [/mm] $
Das geht, weil f n -mal stetig differenzierbar ist. Dann gilt auch:
$ [mm] f^{(n)} (\xi) [/mm] $ > (<) 0"
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Lilium |
Hallo Fred,
> "Ist [mm]f^{(n)} (x_0)[/mm] > (<) 0, so wähle x so nahe bei [mm]x_0,[/mm]
> dass gilt: [mm]f^{(n)} (t)[/mm] > (<) 0 für alle t zwischen x und
> [mm]x_0[/mm]
>
> Das geht, weil f n -mal stetig differenzierbar ist. Dann
> gilt auch:
>
> [mm]f^{(n)} (\xi)[/mm] > (<) 0"
>
vielleicht liegt da mein problem, denn wenn ich x so nahe bei [mm] x_0 [/mm] wähle, so dass [mm] f^{(n)} (\xi)[/mm] [/mm] > (<) 0 gilt, dann kann ich ja gar nicht "exakt" angeben wo [mm] f^{(n)} (\xi)[/mm] [/mm] > 0 und wo [mm] f^{(n)} (\xi)[/mm] [/mm] < 0, oder?
und wenn ich jetzt diese drei fälle habe für [mm] (x-x_0)^n, [/mm] dan gucke ich mir ja nur die zweite ableitung an, wenn es um den wendepunkt geht, also nur das Restglied:
[mm] R_n(x)=\bruch{f^{n}(\xi)}{n!}(x-x_0)^n
[/mm]
über [mm] (x-x_0)^n [/mm] kann ich ja jetzt aussagen machen, ob es größer, kleiner oder gleich Null ist. Aber kann ich für [mm] f^{n}(\xi) [/mm] einfach sahen, dass ich x so nahe an [mm] x_0 [/mm] wähle, dass [mm] f^{n}(\xi)>0 [/mm] ? Muss Ich dann auch noch [mm] f^{n}(\xi)<0 [/mm] für alle 3 fälle für [mm] (x-x_0)^n [/mm] betrachten? Ich bin da irgendwie unsicher und verwirrt. Kannst Du mir helfen?
Liebe Grüße
Lilium
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Sa 22.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Lilium!
> > "Ist [mm]f^{(n)} (x_0)[/mm] > (<) 0, so wähle x so nahe bei [mm]x_0,[/mm]
> > dass gilt: [mm]f^{(n)} (t)[/mm] > (<) 0 für alle t zwischen x und
> > [mm]x_0[/mm]
> >
> > Das geht, weil f n -mal stetig differenzierbar ist. Dann
> > gilt auch:
> >
> > [mm]f^{(n)} (\xi)[/mm] > (<) 0"
> >
> vielleicht liegt da mein problem, denn wenn ich x so nahe
> bei [mm]x_0[/mm] wähle, so dass [mm]f^{(n)} (\xi)[/mm][/mm] > (<) 0 gilt, dann
> kann ich ja gar nicht "exakt" angeben wo [mm]f^{(n)} (\xi)[/mm][/mm] > 0
> und wo [mm]f^{(n)} (\xi)[/mm][/mm] < 0, oder?
Du hast die entscheidende Aussage übersehen: [mm] $f^{(n)}$ [/mm] ist in [mm] $x_0$ [/mm] stetig. Das heisst: wenn [mm] $f^{(n)}(x_0)>0$ [/mm] ist, dann gilt das auch in einer [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_0$, [/mm] also [mm] $f^{(n)}(x)>0$ [/mm] für [mm] $|x-x_0|<\delta$. [/mm] Solange du dein x also so wählst, gilt [mm] $f^{(n)}(\xi)>0$ [/mm] automatisch für jeden Wert von [mm] $\xi$, [/mm] der zwischen $x$ und [mm] $x_0$ [/mm] liegt.
> und wenn ich jetzt diese drei fälle habe für [mm](x-x_0)^n,[/mm]
> dan gucke ich mir ja nur die zweite ableitung an, wenn es
> um den wendepunkt geht, also nur das Restglied:
> [mm]R_n(x)=\bruch{f^{n}(\xi)}{n!}(x-x_0)^n[/mm]
> über [mm](x-x_0)^n[/mm] kann ich ja jetzt aussagen machen, ob es
> größer, kleiner oder gleich Null ist. Aber kann ich für
> [mm]f^{n}(\xi)[/mm] einfach sahen, dass ich x so nahe an [mm]x_0[/mm] wähle,
> dass [mm]f^{n}(\xi)>0[/mm] ?
Genau, weil diese n-te Ableitung stetig ist. Sei [mm] $a:=f^{(n)}(x_0)>0$. [/mm] Wähle nun [mm] $\varepsilon=a$. [/mm] Da wie gesagt [mm] $f^{(n)}$ [/mm] stetig ist, gibt es immer ein [mm] $\delta>0$, [/mm] sodass
[mm] |f^{(n)}(x)-f^{(n)}(x_0)|<\varepsilon=a [/mm] für alle x mit [mm] $|x-x_0| <\delta$.
[/mm]
Anders geschrieben:
[mm] 0=f^{(n)}(x_0)-a < f^{(n)}(x)
Damit gilt auch [mm] $f^{(n)}(\xi) [/mm] > 0$ für alle [mm] $\xi$ [/mm] mit $ [mm] x_0-\delta [/mm] < [mm] \xi [/mm] < [mm] x_0+\delta [/mm] $, und das Vorzeichen von [mm] $R_n(x)$ [/mm] wird allein durch das Vorzeichen von [mm] $(x-x_0)^n$ [/mm] bestimmt.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Lilium |
Hallo!
Vielen vielen Dank!
Jetzt hab ich auch verstanden, wie das im Skript gemeint ist!
Liebe Grüße
Lilium
|
|
|
|
