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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:42 Mi 30.11.2011 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | a) Sei [mm] f:\IR\to\IR [/mm] definiert durch
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\le 0 \\ x^{2}, & \mbox{für } x>0 \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass f differenzierbar, aber nicht zweimal differenzierbar ist.
b) Finden Sie für jedes [mm] k\in\IN [/mm] eine Funktion f, welche k-mal, aber nicht (k+1)-mal differenzierbar ist. Berechnen Sie [mm] f^{(k)}.
[/mm]
c) Sei [mm] D\subset\IR [/mm] und [mm] a\inD. [/mm] Seien [mm] f,g:D\to\IR [/mm] zwei Funktionen, wobei f in a stetig und g in a differenzierbar ist und g(a)=0. Zeigen Sie, dass die Funktion [mm] f*g:D\to\IR [/mm] in a differenzierbar ist mit (f*g)'(a)=f(a)g'(a). |
Guten Morgen.
Nun für a)
Ich habe mit Hilfe des Differentialquotienten die erste Ableitung von [mm] x^{2} [/mm] berechnet f'(x)=2x. Auch die zweite Ableitung funktioniert f''(x)=2. Nun ist es aber eine zusammengesetzte Funktion, da ja für [mm] x\le [/mm] 0 0 gilt. Wie mache ich denn dies für die ganze Funktion, dass ich zeige, dass sie einmal, aber nicht zweimal differenzierbar ist?
für b)
Verstehe ich leider überhaupt nicht. Solche Aufgaben wollen mir einfach nicht in den Kopf.
für c)
Wie muss ich denn dies machen?
[mm] f*g:D\to\IR [/mm] ist ja eine Komposition und in a differenzierbar. Müssen nicht beide Funktionen differenzierbar sein? Und was mache ich mit dem (fg)'(a)=f(a)g'(a)? Hier ist ja die Produktregel nicht mal anwendbar oder?
Danke schonmal für Tipps etc.
Viele Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Mi 30.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> a) Sei [mm]f:\IR\to\IR[/mm] definiert durch
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\le 0 \\ x^{2}, & \mbox{für } x>0 \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass f differenzierbar, aber nicht zweimal
> differenzierbar ist.
> b) Finden Sie für jedes [mm]k\in\IN[/mm] eine Funktion f, welche
> k-mal, aber nicht (k+1)-mal differenzierbar ist. Berechnen
> Sie [mm]f^{(k)}.[/mm]
> c) Sei [mm]D\subset\IR[/mm] und [mm]a\inD.[/mm] Seien [mm]f,g:D\to\IR[/mm] zwei
> Funktionen, wobei f in a stetig und g in a differenzierbar
> ist und g(a)=0. Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f*g:D\to\IR[/mm]
> in a differenzierbar ist mit (f*g)'(a)=f(a)g'(a).
> Guten Morgen.
>
> Nun für a)
> Ich habe mit Hilfe des Differentialquotienten die erste
> Ableitung von [mm]x^{2}[/mm] berechnet f'(x)=2x. Auch die zweite
> Ableitung funktioniert f''(x)=2. Nun ist es aber eine
> zusammengesetzte Funktion, da ja für [mm]x\le[/mm] 0 0 gilt. Wie
> mache ich denn dies für die ganze Funktion, dass ich
> zeige, dass sie einmal, aber nicht zweimal differenzierbar
> ist?
Für x>0 ist f differenzierbar und f'(x)=2x
Für x<0 ist f differenzierbar und f'(x)=0
Zeige nun mit dem Differenzenquotienten, dass f in x=0 differenzierbar ist , und dass f'(0)=0 ist.
Damit hast Du:
f'(x)=2x für x>0 und f'(x) = 0 für x [mm] \le [/mm] 0.
Ist f' in x=0 differenzierbar ?
>
> für b)
> Verstehe ich leider überhaupt nicht. Solche Aufgaben
> wollen mir einfach nicht in den Kopf.
Für k=1 wissen wir schon Bescheid ( Aufgabe a)).
Ich zeigs Dir mal für k=2, vielleicht siehst Du dann wo es lang geht.
Sei f wie in a) und F eine Stammfunktion von f auf [mm] \IR [/mm] (warum gibt es eine solche ?).
Dann ist F'=f, F''=f'
F ist als 2 mal differenzierbar. Da f' nicht differenzierbar ist, ist F also nicht 3 mal differenzierbar.
>
> für c)
> Wie muss ich denn dies machen?
> [mm]f*g:D\to\IR[/mm] ist ja eine Komposition und in a
> differenzierbar. Müssen nicht beide Funktionen
> differenzierbar sein? Und was mache ich mit dem
> (fg)'(a)=f(a)g'(a)? Hier ist ja die Produktregel nicht mal
> anwendbar oder?
Es ist, wegen g(a)=0:
[mm] $\bruch{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}= \bruch{f(x)(g(x)-g(a))}{x-a}=f(x)*\bruch{g(x)-g(a)}{x-a}$
[/mm]
Was passiert für x [mm] \to [/mm] a ?
FRED
>
> Danke schonmal für Tipps etc.
> Viele Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:43 Mi 30.11.2011 | | Autor: | unibasel |
Ok, danke, ich versuche es mal.
Viele Grüsse :)
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