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Hi,
ich hab so meine Probleme mit folgender Aufgabe:
F(x,y,z) = [mm] z^{3}+2z^2-3xyz +x^3 [/mm] - [mm] y^3
[/mm]
M:={x [mm] \in R^n [/mm] | F(x)=0}
Bestimmen sie alle a [mm] \in [/mm] M, so dass eine Auflösung z=f(x,y) bei a existiert und f'(a)=(0 0) gilt.
Bisher war es immer so, dass ich einen Punkt x0 gegeben hatte, für den ich zeigen musste das eine Auflösung existiert. Aber ich weiß nun leider überhaupt nicht, wie ich nun umgekehrt vorgehen muss, um gefragte Punkte zu bestimmen!
f'(a) müsste ja die Jacobi-Matrix von f(x,y) sein, also (fx, fy). Aber wie bekomme ich fx und fy konkret?
Einer meiner verzweifelten und vermutlich gnadenlos falschen Ansätze:
F'(x,y,f(x,y)) = [mm] F_{x}(x,y,f(x,y)) [/mm] + [mm] F_{y}(x,y,f(x,y)) [/mm] + [mm] F_{z}(x,y,f(x,y))*f'(x,y)
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] f'(x,y)=-\bruch{F_{x}(x,y,f(x,y)) + F_{y}(x,y,f(x,y))}{F_{z}(x,y,f(x,y))}
[/mm]
Hier hätte ich jetzt eine Formel für f', die aber leider keine Matrixform hat.
Wo ist mein Fehler? Bin für jeden Tipp dankbar.
Gruß, Bastian
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Hallo Bastian,
eigentlich musst Du nur die Voraussetzungen aus dem Satz über implizite Funktionen überprüfen, oder?
Aber der Reihe nach: wir wollen prüfen, inwieweit sich Lösungsmannigfaltigkeit [mm]M[/mm] in bestimmten Punkten lokal als Graph einer Funktion $f$ darstellen lässt.
Ich würde folgendermaßen vorgehen: du sagst, bisher hast du nur für vorgegebene punkte geprüft, inwieweit eine Auflösung existiert. diese kandidaten musst du dir jetzt besorgen, in dem du die Punkte[mm](x_1,x_2)[/mm] suchst, die [mm]Df(x_1,x_2)=0[/mm] erfüllen.
Rechne dabei doch einfach mit partiellen Ableitungen nach [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm], dann kommst du nicht in die verlegenheit, mit Vektor-Ableitungen herumzuhantieren. Anschließend solltest Du nach [mm]\partial_x f[/mm] bzw. [mm]\partial_y f[/mm] auflösen und Nullsetzen könne.
Nach ein wenig rechnerei (die ich mir jetzt natürlich spare...) solltest Du eigentlich kandidaten erhalten, für die du im nächsten schritt das kriterium für auflösbarkeit prüfen kannst.
Ich hoffe, das hilft dir ein wenig weiter (und auch, dass beim rechnen keine hohen hürden auftauchen...  )
Viele Grüße
Matthias
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