Differentiationslemma < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Fr 07.08.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen!
Habe die folgende Aufgabe bearbeitet und wüsste gerne, ob das so richtig ist bzw am Ende weiß ich nicht, wie man das entsprechende Lemma richtig umsetzt. Wäre super, wenn ihr mal drüber schauen könntet und mir weiter helfen würdet. Danke!
LG
Christian
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:11 Di 11.08.2009 | | Autor: | felixf |
Moin Christian!
> Habe die folgende Aufgabe bearbeitet und wüsste gerne, ob
> das so richtig ist bzw am Ende weiß ich nicht, wie man das
> entsprechende Lemma richtig umsetzt. Wäre super, wenn ihr
> mal drüber schauen könntet und mir weiter helfen würdet.
> Danke!
Also, zuersteinmal: warum wendest du nicht zuerst den Satz an -- dieser liefert dir ja schliesslich die Ableitung gleich mit -- und berechnest dann [mm] $\lim_{\lambda \downarrow 0} \varphi'(\lambda)$? [/mm]
Ausserdem zeigst du erst danach, dass die Funktion ueberhaupt differenzierbar ist.
Nun zum Satz bzw. dessen Anwendung. Teil 1) und 2) hast du ja schon, fehlt also Teil 3).
Dazu: setze [mm] $h(\omega) [/mm] := [mm] \sup_{\lambda \in (0, \infty)} \bigl| \frac{d}{d\lambda} e^{-\lambda X(\omega)} \bigr|$. [/mm] Nun ist [mm] $\frac{d}{d\lambda} e^{-\lambda X(\omega)} [/mm] = [mm] -X(\omega) e^{-\lambda X(\omega)}$, [/mm] und da [mm] $X(\omega) [/mm] > 0$ folgt also [mm] $h(\omega) [/mm] = [mm] \sup_{\lambda \in (0, \infty)} X(\omega) e^{-\lambda X(\omega)} [/mm] = [mm] X(\omega) \sup_{\lambda \in (0, \infty)} e^{-\lambda X(\omega)}$. [/mm] Wiederum, da [mm] $-X(\omega) [/mm] < 0$ nimmt [mm] $e^{-\lambda X(\omega)}$ [/mm] sein Maximum auf $[0, [mm] \infty)$ [/mm] bei [mm] $\lambda [/mm] = 0$ an, womit [mm] $h(\omega) [/mm] = [mm] X(\omega)$ [/mm] ist, also $h = X$. Und $h$ ist nach Voraussetzung [mm] $\mu$-integrierbar, [/mm] also ist 3) ebenfalls erfuellt.
Damit kann man den Satz anwenden und erhaelt, dass [mm] $\lambda \mapsto \int e^{-\lambda X(\omega)} \mu(d \omega)$ [/mm] auf $(0, [mm] \infty)$ [/mm] differenzierbar ist mit Ableitung [mm] $\lambda \mapsto \int \frac{d}{d\lambda} e^{-\lambda X(\omega)} \mu(d \omega) [/mm] = [mm] \int -X(\omega) e^{-\lambda X(\omega)} \mu(d \omega)$.
[/mm]
(Und hierdrauf kannst du jetzt die Transformationsformel anwenden und damit [mm] $\lim_{\lambda \downarrow 0} \varphi'(\lambda)$ [/mm] ausrechnen.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:59 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Fry |
Hi Felix,
danke schön, alles soweit verstanden und gespeichert, aber...
was genau sollte ich an Teil I verbessern?
Eigentlich doch nur, dass ich den Transformationssatz erst anwende nachdem ich das Lemma angewandt habe oder? Habe gedacht, dass es auch andersrum geht,s.Rechnung.
Übrigens fand ich die Rechnung einfacher, daher kommt der Nachweis erst am Ende [mm] \;)
[/mm]
Gruß
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Mi 12.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hi Christian,
> danke schön, alles soweit verstanden und gespeichert,
> aber...
>
> was genau sollte ich an Teil I verbessern?
> Eigentlich doch nur, dass ich den Transformationssatz erst
> anwende nachdem ich das Lemma angewandt habe oder?
genau.
> Habe gedacht, dass es auch andersrum geht,s.Rechnung.
Zuerst sollte man halt schon zeigen, dass die Funktion differenzierbar ist, bevor man anfaengt die Ableitung zu benutzen ;)
> Übrigens fand ich die Rechnung einfacher, daher kommt der
> Nachweis erst am Ende [mm]\;)[/mm]
Ja, das hatte ich mir schon gedacht 
LG Felix
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