Differenz der y-Werte < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = [mm] 0,5e^{0,5x} [/mm] -x -3
Ihr Schaubild ist K
Für welche Werte von x ist die Differenz der y-Werte zwischen Punkten auf K und der Geraden g ( y= - x- 3 ) kleiner als 0,01?
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Hallo, ich hoffe mir kann jemand bei der Aufgabe helfen,
tut mir leid das ich keinen Lösungsansatz habe, allerdings stehe ich gerade komplett auf dem Schlauch...
Würde mich sehr um eine baldige Antwort freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Mo 25.06.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
guck dir mal die Skizze an:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du siehst, dass sich die y-Werte für [mm] x\rightarrow -\infty [/mm] gegen die Gerade -x-3 schmiegen.
Das liegt daran, weil gilt:
[mm] $\lim_{n\rightarrow -\infty}e^{0.5x}=0$
[/mm]
D.h. für sehr kleine x-Werte geht der Term [mm] e^{0.5x} [/mm] gegen Null, so dass man im Prinzip die sleben Werte herausbekommt als wenn man nur -x-0.5 dort stehen hätte.
Nun sollst du berechnen, für welche x-Werte die Differenz zwischen den beiden Graphen der Funktionen kleiner als 0.01 ist.
Man sieht, bzw kann es sich denken, dass sich der Graph von f von "oben" an die Gerade nähert, weil [mm] 0.5e^{0.5x} [/mm] immer positiv ist, und man auf den eigentlichen Funktionswert der Geraden dann immer noch ein ganz klein bisschen "draufpackt", so dass der Graph von f oberhalb der Geraden liegt.
Nun, wie groß ist die Differenz der beiden y-Werte an der Stelle x?
Da der Graph von f oberhalb von der Geraden verläuft, rechnen wir:
[mm] $(0.5e^{0.5x}-x-3)-(-x-3)$, [/mm] damit wir eine positive Differenz bekommen.
Das kann man jetzt weiter umformen zu:
[mm] $0.5e^{0.5x}-x-3+x+3=0.5e^{0.5x}$
[/mm]
Jetzt soll also [mm] $0.5e^{0.5x}<0.01$ [/mm] gelten.
Das bekommst du bestimmt auch selbst noch ausgerechnet.
LG
Kroni
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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