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Hallo Leute,
heute habe habe ich ein ziemlich großes Problem. Ich sass so lange daran, aber wusste echt nicht wie man das angehen soll.
Die Aufgabe lautet:
Gewisse Zellen teilen sich genau 2 Stunden nach ihrer Entsteehung und bei jeder Teilung entstehen 2 neue Zellen aus einer 2 Stunden alten Zelle. Zum Zeitpunkt t=0 seien nur Zellen mit dem Alter 1 Stunde vorhanden und solche mit dem Alter 0 Stunden, die also gerade entstanden sind. Teilungen können dann nur zu den Zeitpunkten t=1,2,... erfolgen und immer haben wir nur Zellen mit dem Alter 0 oder 1. Welche Differenzengleichung ergibt sich daraus für [mm] a_{n} [/mm] = Anzahl der Zellen zur Zeit t=n (einsschließlich der gerade entstandenen)?
Wenn zum Zeitpunkt t=0 vier Zellen vorhanden sind, zwei mit dem Alter 0 Stunden und zwei mit dem Alter 1 Stunde, wie groß ist dann [mm] a_{10} [/mm] ? Geben Sie die durch die Anfangsbedingungen festgelegte Folge [mm] a_{n} [/mm] in expliziter form an!
Bitte helft mir. Ich weiss echt nicht wie ich anfangen soll. Wie soll man denn diese 2 Typen von Zellen mathematisch unterscheiden und dann eine Differenzengleichung aufstellen?
Also vielen dank schon mal im Voraus.
Schöne Grüße,
Susi
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Seien x, y, a: [mm] \IN \rightarrow \IN [/mm] zwei Folgen natürlicher Zahlen. x repräsentiere die Folge der Zellen, die aus der älteren Zelle entstanden sind; y die Folge der Zellen, die aus der jüngeren Zelle entstanden sind. a repräsentiert die Summe der Zellen x und y.
Zur Zeit t = 0 gilt: [mm] a_0 [/mm] = [mm] x_0+y_0.
[/mm]
Zur Zeit t = 1 gilt: [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_0+x_0 [/mm] = [mm] 2x_0, y_1 [/mm] = [mm] y_0 [/mm] bleibt unverändert.
Somit gilt: [mm] a_1 [/mm] = [mm] x_1+y_1 [/mm] = [mm] 2x_0+y_0.
[/mm]
Zur Zeit t = 2 gilt: [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_1 [/mm] bleibt unverändert, [mm] y_2 [/mm] = [mm] y_1+y_1 [/mm] = [mm] 2y_1.
[/mm]
Somit gilt: [mm] a_2 [/mm] = [mm] x_2+y_2 [/mm] = [mm] x_1+2y_1 [/mm] = [mm] 2x_0+2y_0 [/mm] = [mm] 2(x_0+y_0) [/mm] = [mm] 2a_0.
[/mm]
So wird langsam das Bildungsgesetz der Folge [mm] a_n [/mm] ersichtlich, und man sieht sofort:
[mm] a_{2n} [/mm] = [mm] 2^n a_0
[/mm]
[mm] a_{2n+1} [/mm] = [mm] 2^n a_1.
[/mm]
Dann gilt für [mm] a_{10} [/mm] mit n = 5: [mm] a_{10} [/mm] = [mm] 2^5 a_0, x_0 [/mm] = [mm] y_0 [/mm] =2 [mm] \Rightarrow a_0 [/mm] = 2+2 = 4 [mm] \Rightarrow a_{10} [/mm] = [mm] 2^5.4 [/mm] = [mm] 2^7 [/mm] = 128 . [mm] \Box [/mm]
Und damit, hoffentlich, ist deine Frage beantwortet.
Gruss,
TU-Berlin Student
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Vielen Dank für die gut erklärende Antwort.
Alles klar erklärt. Bloß als Verständnisfrage: Kann ich denn meine Differenzengleichung dann als 2 Folgen angeben? ich meine so aufteilen in t=gerade => dann gilt die 1 Folge mit [mm] a_{2n} [/mm] und für t=ungerade gilt [mm] a_{2n+1} [/mm] , oder wie muss ich schreiben, wenn in der Aufgabe gefragt steht: Stellen Sie dazu eine Differenzengleichung auf. Reicht das einfach die 2 Gleichungen aufzulisten?
Und ausserdem, was soll ich denn reinschreiben, wenn da steht: geben Sie die durch die Anfangsbedingung festgelegte Folge [mm] a_{n} [/mm] in expliziter Form an.
Was bedeutet denn explizit?
Schöne Grüße,
Susi
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Hallo Susi!
Du kannst das ganze auch als eine Gleichung schreiben:
Bezeichne mit [mm] $a_n$ [/mm] die Anzahl der in Periode $n$ lebenden Zellen.
Zuerst mal überlegst du dir, wieviele Zellen in Periode $n$ das Alter 1 haben. Das sind gerade die Zellen, die im letzten Schritt entstanden sind, also $a(n-1)-a(n-2)$.
In Perioden $n$ gibt es dann die Zellen, die es bereits im vorigen Schritt gegeben hat, also $a(n-1)$, und die Zellen, die sich im letzten Schritt nicht geteilt haben, verdoppeln sich jetzt. D.h. es kommen [mm] $a(n-2)-\big((a(n-1)-a(n-2)\big)=2a(n-2)-a(n-1)$ [/mm] hinzu.
Insgesamt gilt also $a(n)=a(n-1)+2a(n-2)-a(n-1)=2a(n-2)$. Oder $a(n)-2a(n-2)=0$.
Eine explizite Formel anzugeben bedeutet, dass du $a(n)$ nicht rekursiv berechnen musst, sondern einfach $n$ in eine Funktion einsetzt und den richtigen Wert herausbekommst. Hast du denn dafür eine Vermutung?
Gruß, banachella
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Seien x, y, a: [mm] \IN \rightarrow \IN [/mm] zwei Folgen natürlicher Zahlen. x repräsentiere die Folge der Zellen, die aus der älteren Zelle entstanden sind; y die Folge der Zellen, die aus der jüngeren Zelle entstanden sind. a repräsentiert die Summe der Zellen x und y.
Zur Zeit t = 0 gilt: [mm] a_0 [/mm] = [mm] x_0+y_0.
[/mm]
Zur Zeit t = 1 gilt: [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_0+x_0 [/mm] = [mm] 2x_0, y_1 [/mm] = [mm] y_0 [/mm] bleibt unverändert.
Somit gilt: [mm] a_1 [/mm] = [mm] x_1+y_1 [/mm] = [mm] 2x_0+y_0.
[/mm]
Zur Zeit t = 2 gilt: [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_1 [/mm] bleibt unverändert, [mm] y_2 [/mm] = [mm] y_1+y_1 [/mm] = [mm] 2y_1.
[/mm]
Somit gilt: [mm] a_2 [/mm] = [mm] x_2+y_2 [/mm] = [mm] x_1+2y_1 [/mm] = [mm] 2x_0+2y_0 [/mm] = [mm] 2(x_0+y_0) [/mm] = [mm] 2a_0.
[/mm]
So wird langsam das Bildungsgesetz der Folge [mm] a_n [/mm] ersichtlich, und man sieht sofort:
[mm] a_{2n} [/mm] = [mm] 2^n a_0
[/mm]
[mm] a_{2n+1} [/mm] = [mm] 2^n a_1.
[/mm]
Dann gilt für [mm] a_{10} [/mm] mit n = 5: [mm] a_{10} [/mm] = [mm] 2^5 a_0, x_0 [/mm] = [mm] y_0 [/mm] =2 [mm] \Rightarrow a_0 [/mm] = 2+2 = 4 [mm] \Rightarrow a_{10} [/mm] = [mm] 2^5.4 [/mm] = [mm] 2^7 [/mm] = 128 . [mm] \Box
[/mm]
Und damit, hoffentlich, ist deine Frage beantwortet.
Gruss,
TU-Berlin Student
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