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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Gesamtlösung der DFG. |
Hallo,
falls das hier dass falsche Forum sein sollte, bitte entschuldigt.
Ich habe eine Frage zu meinen Aufschrieben bezüglich Differenzengleichungen.
Wir haben unsere Aufschriebe verdeutlicht indem wir sagten:
[mm] y_{t}= [/mm] Kontostand nach der Zinsperiode t
q= Zinsfaktor
r=Sparrate
Also:
[mm] y_{t+1}=q*y_{t}+r [/mm] oder [mm] y_{t}=q*y_{t-1}+r
[/mm]
--> [mm] y_{t}=q*(q*y_{t-2}+r)+r
[/mm]
Es ergibt sich:
[mm] q^{i}*y_{t-i}+q^{i-1}*r+q^{i-2}*r+....r
[/mm]
--> [mm] q^{i}*y_{t-i}+r\summe_{k=0}^{i-1}q^{i}
[/mm]
Hier entsteht meine erste Zwischenfrage, die treffenderweise wahrscheinlich eher zum Thema Reihen gehört. Vlt. könnt ihr mir sie dennoch beantworten.
Wieso benutzt er bei der Summe für den Anfang k und für das Ende i-1?
Die Summe könnt doch auch so heißen: [mm] r\summe_{n=1}^{m}q^{i-n}?!
[/mm]
Es ergibt sich:
[mm] q^{i}*y_{t-i}+r*(q^{i}-1)/q-1
[/mm]
für i=t:
[mm] y_{t}=q^{t}*y_{0}+r*(q^{t}-1)/q-1
[/mm]
Wie bearbeiteten eine Beispielaufgabe, bei der meine eigentliche Frage aufkommt.
[mm] y_{t+1}-a*y_{t}-s
[/mm]
hat als Gesamtlösung [mm] y_{t}=k*a^{t}*y_{0}+s/1-a.
[/mm]
Warum nicht [mm] y_{t}=k*a^{t}*y_{0}+s*(a^{t}-1)/(a-1) [/mm] wie oben?
Ist doch genau das gleiche.
edit: Hab jetzt noch mal nachgeschaut, es gibt mehrere Lösungen die ich aufgeschrieben habe, aber welche jetzt relevant für was ist hab ich keine Ahnung. Hoffentlich könnt ihr mir helfen!
[mm] y_{t+1}-a*y_{t}-s
[/mm]
hat die Lösungen:
1) [mm] y_{t}=a^{t}*y_{0} [/mm] (homogen)
2) [mm] y_{t}=s/1-a [/mm] (partikulär)
3) [mm] y_{t}=k*a^{t}*y_{0}+s/1-a [/mm] (gesamt)
4) [mm] y_{t}=b*a^{t}+s/1-a [/mm] für [mm] a\not=1 [/mm] ; [mm] y_{0}+t+s [/mm] für a=1
Des weiteren schreibt mein Dozent dann [mm] y_{t}=c*d^{t}
[/mm]
Versteh nichts mehr. Welche Lösung ist für was?
Danke im Voraus!
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Hallo Cyantific,
> Berechnen Sie die Gesamtlösung der DFG.
> Hallo,
>
> falls das hier dass falsche Forum sein sollte, bitte
> entschuldigt.
>
> Ich habe eine Frage zu meinen Aufschrieben bezüglich
> Differenzengleichungen.
>
> Wir haben unsere Aufschriebe verdeutlicht indem wir
> sagten:
>
> [mm]y_{t}=[/mm] Kontostand nach der Zinsperiode t
> q= Zinsfaktor
> r=Sparrate
>
> Also:
> [mm]y_{t+1}=q*y_{t}+r[/mm] oder [mm]y_{t}=q*y_{t-1}+r[/mm]
> --> [mm]y_{t}=q*(q*y_{t-2}+r)+r[/mm]
> Es ergibt sich:
> [mm]q^{i}*y_{t-i}+q^{i-1}*r+q^{i-2}*r+....r[/mm]
[mm]\blue{=...+r\cdot{}(q^{i-1}+q^{i-2}+\ldots+q^0)}[/mm]
> --> [mm]q^{i}*y_{t-i}+r\summe_{k=0}^{i-1}q^{i}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist doch schon Kokolores, nach dem "+" steht [mm]r\cdot{}(\underbrace{q^{i}+q^{i}+\ldots q^{i}}_{\text{i-mal}})[/mm]
[mm]=r\cdot{}i\cdot{}q^{i}[/mm]
Der Laufindex [mm]k[/mm] ist doch von dem Term, pber den summiert wird, also [mm]q^{i}[/mm] völlig unabh., du summierst für [mm]k=0 ... i-1[/mm] über den konstanten Term [mm]q^{i}[/mm], von [mm]k=0...i-1[/mm] sind es i Summanden ...
Richtig wäre [mm]...+r\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{i-1}q^{\red{k}}[/mm]
Schreibe dir diese Summe aus und du erhältst den Klammerausdruck von weiter oben in blau, also [mm](q^{i-1}+q^{i-2}+...+q^0)[/mm] in umgekehrter Reihenfolge
>
> Hier entsteht meine erste Zwischenfrage, die
> treffenderweise wahrscheinlich eher zum Thema Reihen
> gehört. Vlt. könnt ihr mir sie dennoch beantworten.
>
> Wieso benutzt er bei der Summe für den Anfang k
Der Anfang ist nicht k, sondern 0 !!
> und für
> das Ende i-1?
> Die Summe könnt doch auch so heißen:
> [mm]r\summe_{n=1}^{m}q^{i-n}?![/mm]
Nein, das ist Oberquark, schreibe das doch mal aus, da steht: [mm]r\cdot{}(q^{i-1}+q^{i-2}+q^{i-3}+\ldots+q^{i-(m-1)}+q^{i-m})[/mm]
Das steht nun in keinem Zusammenhang zu der richtigen Summe oben ...
>
> Es ergibt sich:
> [mm]q^{i}*y_{t-i}+r*(q^{i}-1)/q-1[/mm]
Ja, das ist die Formel für die endliche geometrische Reihe
> für i=t:
> [mm]y_{t}=q^{t}*y_{0}+r*(q^{t}-1)/q-1[/mm]
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Fr 10.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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