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Differenzenquotient: Differenzenquotienten bei RF
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:43 Mi 12.12.2007
Autor: Dorlechen

Aufgabe
Beweise anhand des Differenzenquotienten, dass die Funktion
f(x)= [mm] \wurzel{x}+2 [/mm]  eine Ableitung hat.

Ich habe die Funktion in die Formal [mm] \bruch{f(f(x+h)-f(x))}{h} [/mm]
eingegeben, und habe dann das umgeformt in:
[mm] \bruch{1}{h}* ((\wurzel{x+h}+(2+h)-((\wurzel{x}+2) [/mm]
Also habe ich
m(h)= [mm] \bruch{1}{h}* \bruch{((x+h)+(2+h)-(x+2)}{((\wurzel{x+h}+(2+h))+(\wurzel{x}+2)} [/mm]
Und jetzt komme ich nicht weiter, weil ich nicht genau weiß, wie viele h ich kürzen kann... Wenn ich das h aus dem ersten Bruch kürze, darf ich dann nur eins aus dem zweiten kürzen??
Bin ziemlich dankbar für Antworten!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Differenzenquotient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 Mi 12.12.2007
Autor: schachuzipus

Hallo Dorlechen,


> Beweise anhand des Differenzenquotienten, dass die
> Funktion
>  f(x)= [mm]\wurzel{x}+2[/mm]  eine Ableitung hat.
>  
> Ich habe die Funktion in die Formal
> [mm]\bruch{(f(x+h)-f(x))}{h}[/mm] [ok] da war ein f zuviel ;-) - vertippt ?!
>  eingegeben, und habe dann das umgeformt in:
>  [mm]\bruch{1}{h}* ((\wurzel{x+h}+(2\red{+h})-((\wurzel{x}+2)[/mm] [kopfkratz3]

Das [mm] \red{+h} [/mm] ist zuviel - du setzt ja nur für $x [mm] \qquad [/mm] x+h$ ein

Es ist:

[mm] $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\sqrt{x+h}+2-(\sqrt{x}+2)}{h}=\frac{\sqrt{x+h}+2-\sqrt{x}-2}{h}=\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$ [/mm]

Erweitere hier mal mit [mm] $\sqrt{x+h}\red{+}\sqrt{x}$ [/mm]

Dann bekommst du im Zähler die 3.binomische Formel und das Biest lässt sich wunderbar verinfachen.

Am Schluss dann den Grenzübergang [mm] $h\to [/mm] 0$ machen...

>  Also
> habe ich
>  m(h)= [mm]\bruch{1}{h}* \bruch{((x+h)+(2+h)-(x+2)}{((\wurzel{x+h}+(2+h))+(\wurzel{x}+2)}[/mm]
>  
> Und jetzt komme ich nicht weiter, weil ich nicht genau
> weiß, wie viele h ich kürzen kann... Wenn ich das h aus dem
> ersten Bruch kürze, darf ich dann nur eins aus dem zweiten
> kürzen??
>  Bin ziemlich dankbar für Antworten!
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


LG

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Differenzenquotient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:23 Mi 12.12.2007
Autor: Dorlechen

Es ist:

$ [mm] \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\sqrt{x+h}+2-(\sqrt{x}+2)}{h}=\frac{\sqrt{x+h}+2-\sqrt{x}-2}{h}=\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} [/mm] $

Erweitere hier mal mit $ [mm] \sqrt{x+h}\red{+}\sqrt{x} [/mm] $

Dann bekommst du im Zähler die 3.binomische Formel und das Biest lässt sich wunderbar vereinfachen.


Also, ich habe das jetzt versucht, und es sieht jetzt so aus:
[mm] m(h)=\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} [/mm] $
erweitert mit [mm] \wurzel{x+h}+\wurzel{x} [/mm]
[mm] m(h)=\bruch{x+h-x}{h(\wurzel{x+h}+\wurzel{x}} [/mm]
[mm] m(h)=\bruch{h}{h(\wurzel{x+h}+\wurzel{x}} [/mm]
durch kürzen von h
m(h)= [mm] h(\wurzel{x+h}+h(\wurzel{x} [/mm]

Stimmt das soweit??
Bezug
                        
Bezug
Differenzenquotient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:39 Mi 12.12.2007
Autor: Dorlechen

Also, ich habe das jetzt versucht, und es sieht jetzt so aus:
$ [mm] m(h)=\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} [/mm] $ $
erweitert mit $ [mm] \wurzel{x+h}+\wurzel{x} [/mm] $
$ [mm] m(h)=\bruch{x+h-x}{h(\wurzel{x+h}+\wurzel{x}} [/mm] $
$ [mm] m(h)=\bruch{h}{h(\wurzel{x+h}+\wurzel{x}} [/mm] $
durch kürzen von h
m(h)= $ [mm] (\wurzel{x+h}+(\wurzel{x} [/mm] $

Stimmt das soweit??

<< So ist es richtig!!
Bezug
                        
Bezug
Differenzenquotient: nicht ganz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:27 Mi 12.12.2007
Autor: Loddar

Hallo Dorlechen!


In Deiner letzten Zeile muss doch noch immer ein Bruch stehen nach dem Kürzen durch $h_$ :
$$m(h) \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{x+h}+\wurzel{x}}$$ [/mm]

Gruß
Loddar

Bezug
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