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| Aufgabe | Bestimmen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten die erste Ableitung
[mm] f(x)=2x^2-0.5x+1 [/mm] |
Hey Leute
irgendwie hab ich hier Probleme mit...
[mm] m_{t}= \limes_{x\rightarrow\x_{0}}=\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
= [mm] \bruch{2x^2-0.5x+1-2x_{0}^2+0.5x_{0}-1}{x-x_{0}}
[/mm]
= [mm] \bruch{2x^2-0.5x-2x_{0}^2+0.5x_{0}}{x-x_{0}}
[/mm]
= [mm] \bruch{x(2x-0.5)-x_{0}(2x_{0}-0.5)}{x-x_{0}}
[/mm]
= [mm] \bruch{x-x_{0}(2x-0.5)}{x-x_{0}}
[/mm]
f'(x)=2x-0.5 is ja total falsch....wieso kommt ich nicht auf 4x-0.5^^?
kann mir jemand das zeigen?
lg daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie mit Hilfe des Differenzenquotienten die erste
> Ableitung
>
> [mm]f(x)=2x^2-0.5x+1[/mm]
> Hey Leute
>
> irgendwie hab ich hier Probleme mit...
>
> [mm]m_{t}= \limes_{x\rightarrow\x_{0}}=\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm]
entweder schreibst Du immer [mm] $\lim$ [/mm] dabei (in der Hoffnung, dass er existiert), oder Du läßt ihn immer weg. Ich würde ihn erstmal weglassen, d.h. (mit o.B.d.A. $x [mm] \not=x_0$):
[/mm]
[mm] $\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$
[/mm]
> = [mm]\bruch{2x^2-0.5x+1-2x_{0}^2+0.5x_{0}-1}{x-x_{0}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{2x^2-0.5x-2x_{0}^2+0.5x_{0}}{x-x_{0}}[/mm]
Hier mache ich mal STOP
> = [mm]\bruch{x(2x-0.5)-x_{0}(2x_{0}-0.5)}{x-x_{0}}[/mm]
Das ist okay, aber bringt nichts.
> = [mm]\bruch{x-x_{0}(2x-0.5)}{x-x_{0}}[/mm]
Wie kommst Du darauf? (Abgesehen davon wolltest Du im Zähler vielleicht [mm] $\blue{(}x-x_{0}\blue{)}(2x-0.5)$ [/mm] schreiben? Denke bitte an Punkt-vor-Strichrechnung (bzw. allg. an sowas wie das Distributivgesetz).)
Gehen wir nochmal hoch zu der Gleichheit über dem STOP:
Dort hattest Du:
[mm] $...=\bruch{2x^2-0.5x-2x_{0}^2+0.5x_{0}}{x-x_{0}}$
[/mm]
Jetzt schauen wir uns nur mal den Zähler an, und versuchen, den so umzuformen, dass der Faktor [mm] $x-x_0$ [/mm] in einer gewissen Form auftaucht (in dem Sinne, dass man bei dem "verbleibenden" dann eine Aussage, was für $x [mm] \to x_0$ [/mm] passiert, gewinnen kann):
[mm] $2x^2-0.5x-2x_{0}^2+0.5x_{0}=2(x^2-x_0^2)-0.5(x-x_0)$
[/mm]
[mm] $=2(x-x_0)(x+x_0)-0.5(x-x_0)=(x-x_0)*[2*(x+x_0)-0.5]$
[/mm]
Konsequenz:
[mm] $\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\frac{\blue{(x-x_0)}*[2*(x+x_0)-0.5]}{\blue{x-x_0}}$
[/mm]
Was passiert nun, wenn Du [mm] $\blue{x-x_0}$ [/mm] wegkürzt und dann $x [mm] \to x_0$ [/mm] laufen läßt?
P.S.:
Wenn Du willst, und das würde ich Dir einfach mal empfehlen, wenn Du noch nichts über die allg. binomische Formel weißt und ähnliche Aufgaben mit "anderen Polynomen" lössen sollst:
Es ist sicher nicht schlecht, dann, wenn man, wie Du oben z.B.:
[mm] $\bruch{2x^2-0.5x+1-2x_{0}^2+0.5x_{0}-1}{x-x_{0}}$
[/mm]
berechnen soll, dann zunächst einfach mal
[mm] $(2x^2-0.5x-2x_0^2+0.5x_0):(x-x_0)$
[/mm]
mit Polynomdivision ausrechnet in der Hoffnung, dass man dann ein Ergebnis erhält, wo man bei $x [mm] \to x_0$ [/mm] was ablesen kann (darum geht es ja schlussendlich dann).
Bei Dir z.B. würde das liefern:
[mm] $(2x^2-2x_0^2-0.5x+0.5x_0):(x-x_0)=2x+2x_0-0.5$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Blaub33r3 |
danke danke marcel!! wenn ich nochmal eine frage habe iwann, melde ich mich ;)
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