Differenzenquotient < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben:
[mm] f(x)=\begin{cases} c & \mbox{; } \mbox{ x <= 0} \\ (1+\wurzel{x})/\wurzel{1-x} & \mbox{; } \mbox{0
Existiert die Ableitung an der Stelle x0 = 0? |
Hallo, bin arg am Verzweifeln und hoffe hier Hilfe zu finden.
Die o.g. Formel soll mittels Differenzenquotient gelöst werden und der Grenzwert angegeben werden.
Eine zweiseitige Grenzwertbetrachtung macht hier ja Sinn, sodass sich für x<=0 der Grenzwert 0 ergibt.
Für den zweiten Fall komme ich einfach nicht weiter.
[mm] \limes_{\Delta x \rightarrow 0}=((1+\wurzel{x0+\Delta x})/\wurzel{1-x0 - \Delta x}-(1+\wurzel{x0})/\wurzel{1-x0})/\Delta [/mm] x
Wie komme ich nun weiter? Zusammenfassen, Umstellen, Erweitern - habe vieles versucht, nur mit mittelmäßigem Erfolg.
Könnt ihr mir helfen?
Vielen Dank
Matthias
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Mo 08.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde hier die h-Methode bevorzugen, also die Form
[mm] f'(x_{0})=\limes_{h\to0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}
[/mm]
Hier ist [mm] x_{0}=0
[/mm]
Also:
[mm] \limes_{h\to0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\to0}\bruch{\bruch{1+\wurzel{x_{0}+h}}{\wurzel{1+(x_{0}+h)}}-\bruch{1+\wurzel{x_{0}}}{\wurzel{1+x_{0}}}}{h}
[/mm]
Also mit [mm] x_{0}=0
[/mm]
[mm] \limes_{h\to0}\bruch{f(0+h)-f(0)}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\to0}\bruch{\bruch{1+\wurzel{0+h}}{\wurzel{1+(0+h)}}-0}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\to0}\bruch{\bruch{1+\wurzel{h}}{\wurzel{1+h}}-0}{h}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\to0}\bruch{\bruch{1+\wurzel{h}}{\wurzel{1+h}}}{\green{h}}
[/mm]
Versuche jetzt, das h im Nenner zu kürzen, so dass du irgendwann h=0 setzen kannst.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 08.06.2009 | | Autor: | matzebrock |
Hallo und danke für die Hilfe!
Das hat schon geholfen.
Ich dachte immer, man sollte x0 nicht einsetzen. Aber irgendwie scheint sich bei mir Kopf nach 9 Tagen Mathe non-stop alles zu drehen.
Also Vielen Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:24 Mo 08.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du die allgemeine Ableitung suchst, darfst du natürlich nicht den Wert für [mm] x_{0} [/mm] einsetzen, hier suchst du aber den konkrenten WErt.
Aber danke für die Rückmeldung
Marius
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