Differenzenquotient Beweis < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:38 Mo 21.09.2015 | | Autor: | Paivren |
Hallo Leute,
ich habe eine Frage zu einer Übungsaufgabe.
Im Zuge eines Beweises muss ich zeigen, dass für eine stetig diff'bare Funktion f: [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm] gilt:
[mm] \limes_{\delta\rightarrow 0} sup_{|z|<\delta} \bruch{|f(x+z)-f(x)|}{|z|} [/mm] = |f'(x)|
Es ist anschaulich ja klar, aber wie kann ich streng mathematisch aus dem [mm] \limes_{\delta\rightarrow 0} sup_{|z|<\delta} [/mm] ein [mm] \limes_{|z| \rightarrow 0} [/mm] machen?
Es hat irgendwas mit Stetigkeiten zu tun, aber... keine Ahnung ?_?
Gruß
Paivren
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Di 22.09.2015 | | Autor: | hippias |
Die Aussage ist tatsaechlich nicht schwer zu beweisen und die Stetigkeit der Ableitung wird nach meiner Ansicht nicht gebraucht, ebensowenig wie die Betraege.
Fange an wie immer bei Grenzwerten: Sei [mm] $\varepsilon>0$. [/mm] Muessen nun ein [mm] $\delta_{0}>0$ [/mm] auffinden so, dass [mm] $|\sup_{z<\delta}\frac{f(x+z)-f(x)}{z}-f'(x)|<\varepsilon$ [/mm] fuer alle [mm] $\delta<\delta_{0}$. [/mm]
Betrachte nun die Grenzwertdefinition der Ableitung. Du wirst sehen, dass sich [mm] $|\sup_{z<\delta}\frac{f(x+z)-f(x)}{z}-f'(x)|$ [/mm] gut abschaetzen laesst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Di 22.09.2015 | | Autor: | fred97 |
Ich möchte etwas ausführlicher antworten, als mein Vorredner.
Sei x [mm] \in \IR [/mm] fest.
Für z [mm] \ne [/mm] 0 zei [mm] q(z):=|\frac{f(x+z)-f(x)}{z}|,
[/mm]
für [mm] \delta>0 [/mm] sei [mm] Q_{\delta}:=\{q(z): 0<|z|< \delta\}
[/mm]
und es sei [mm] s_{\delta}:=\sup Q_{\delta}.
[/mm]
Dass [mm] \sup Q_{\delta} [/mm] für hinr. kleines [mm] \delta [/mm] ex. muss noch gezeigt werden ! Das kommt im weiteren Verlauf.
So, nun ist zu zeigen:
[mm] $\limes_{\delta \rightarrow 0}s_{\delta}=|f'(x)|$.
[/mm]
Zunächst ist es nicht klar, dass der Grenzwert [mm] \limes_{\delta \rightarrow 0}s_{\delta} [/mm] existiert !
Das versuche nun Du, zu beweisen. Im Folgenden setze ich die Ex. von [mm] \limes_{\delta \rightarrow 0}s_{\delta} [/mm] voraus.
Wir geben ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] vor. Da $q(z) [mm] \to [/mm] |f'(x)|$ für z [mm] \to [/mm] 0, ex. ein r>0 mit:
[mm] |f'(x)|-\varepsilon
Sei 0< [mm] \delta \le [/mm] r, dann:
(1) [mm] |f'(x)|-\varepsilon
Jetzt sieht man, dass [mm] s_{\delta}:=\sup Q_{\delta} [/mm] für 0< [mm] \delta \le [/mm] r existiert !
Aus (1) folgt nun
(2) [mm] |f'(x)|-\varepsilon \le s_{\delta} \le |f'(x)|+\varepsilon [/mm] für 0< [mm] \delta \le [/mm] r.
So jetzt bist Du dran: begründe genau warum und wie nun
[mm] $\limes_{\delta \rightarrow 0}s_{\delta}=|f'(x)|$
[/mm]
folgt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:17 Do 24.09.2015 | | Autor: | Paivren |
Danke euch beiden für die Antwort.
Fred, ich habe Deinen Beweis nachvollziehen können.
[mm] \limes_{\delta \rightarrow 0}s_{\delta}=|f'(x)|
[/mm]
erhält man, indem man [mm] \epsilon [/mm] --> 0 laufen lässt. Man macht die Umgebung um |f'(x)| also immer enger.
Das hat zur Folge, dass r --> 0 läuft und da man stets [mm] |\delta| [/mm] < r wählen kann, ist auch [mm] \delta [/mm] --> 0.
Man erhält:
|f'(x)| [mm] \le \limes_{\delta\rightarrow0}s_{\delta} \le [/mm] |f'(x)| für [mm] \epsilon [/mm] --> 0 und daraus folgt die Behauptung.
Nur DASS der Grenzwert existiert, kann ich nicht zeigen :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Do 24.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke euch beiden für die Antwort.
>
> Fred, ich habe Deinen Beweis nachvollziehen können.
>
>
> [mm]\limes_{\delta \rightarrow 0}s_{\delta}=|f'(x)|[/mm]
>
> erhält man, indem man [mm]\epsilon[/mm] --> 0 laufen lässt. Man
> macht die Umgebung um |f'(x)| also immer enger.
> Das hat zur Folge, dass r --> 0 läuft und da man stets
> [mm]|\delta|[/mm] < r wählen kann, ist auch [mm]\delta[/mm] --> 0.
Nein !
Wir haben zu gewähltem [mm] \varepsilon [/mm] ein r mit
$ [mm] |f'(x)|-\varepsilon \le s_{\delta} \le |f'(x)|+\varepsilon [/mm] $ für 0< $ [mm] \delta \le [/mm] $ r.
Setzen wir voraus dass $ [mm] \limes_{\delta\rightarrow0}s_{\delta} [/mm] \ $ ex., so folgt mit [mm] \delta \to [/mm] 0:
$ [mm] |f'(x)|-\varepsilon \le \limes_{\delta\rightarrow0}s_{\delta} \le |f'(x)|+\varepsilon [/mm] $
Mit [mm] \varepsilon \to [/mm] 0 folgt nun
|f'(x)|= [mm] \limes_{\delta\rightarrow0}s_{\delta} [/mm]
Zur Ex. von $ [mm] \limes_{\delta\rightarrow0}s_{\delta} [/mm] \ $ : für [mm] \delta \to [/mm] 0 fällt [mm] s_{\delta} [/mm] und ist nach unten beschränkt.
FRED
>
> Man erhält:
> |f'(x)| [mm]\le \limes_{\delta\rightarrow0}s_{\delta} \le[/mm]
> |f'(x)| für [mm]\epsilon[/mm] --> 0 und daraus folgt die
> Behauptung.
>
> Nur DASS der Grenzwert existiert, kann ich nicht zeigen :(
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