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Hallo Leute!
Möchte die DGL: f'(t)=k*f(t) lösen
erstmal Variabeltrennung:
f'(t)+k*f(t)=O (eigentlich ja f'(t)-k*f(t)=O, aber damit komm ich nicht weiter) ;mit [mm] e^{k*t} [/mm] erweitern
[mm] e^{k*t}*f'(t)+k*e^{k*t}*f(t)=0 [/mm] ;Jetzt die Stammfunktion bilden( Man erkennt die Poduktregel auf der linken Seite)
Wir erhalten dann:
[mm] e^{k*t}*f(t)=c
[/mm]
Jetzt nach f(t)lösen
[mm] f(t)=c*e^{-kt}
[/mm]
Somit haben wie die DGL gelöst und erkennen das diese den exponentiellen Wachstum beschreibt.
Ist das alles richtig gemacht mit den Schritten?
Gruss
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Hallo!
Es ist f'(t)=k*f(t) zu lösen. Wie du richtig gesagt hast beschfreibt diese DGL ein natürliches Waschstum. Also: [mm] f'(t)=k\cdot [/mm] f(t)
[mm] \Rightarrow \bruch{f'(t)}{f(t)}=k
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{a}^{b}{\bruch{f'(t)}{f(t)} dt}=\integral_{a}^{b}{k dt}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ln(f(t))=kt+c
[mm] \Rightarrow f(t)=e^{kt+c}
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(t)=e^{kt}\cdot e^{c} [/mm] für t=0
[mm] \Rightarrow f(0)=1*e^{c} \Rightarrow [/mm] Anfangswert
[mm] \Rightarrow f(t)=f(0)+e^{kt} [/mm] bzw f(t)= [mm] C\cdot e^{kt}
[/mm]
So würde ich das machen.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 Do 28.02.2008 | | Autor: | bene75 |
fast richtig, aber umständlich.
Du hast folgendes gegeben: [mm] \bruch{df(t)}{dt}=kf(t)
[/mm]
Multiplikation mit dt und division mit f(t) ergibt [mm] \bruch{df(t)}{f(t)}=kdt
[/mm]
Integral über beide Seiten, dann entlogarithmieren
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